Математический анализ Примеры

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$ , $(- 1, 1)$

Этап 1

Запишем $x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$

Этап 2

Вычтем $4 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.2

Развернем $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2}) - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 3.3.2.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y = 0$

Этап 4

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y$ в точке $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot (1 y^{2}) + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 {(- 1)}^{2} y$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 \cdot (1 y)$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ .

$1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$

Этап 4.2

Поскольку $1 + 2 y^{2} + y^{4} - 4 y$ $\neq$ $1$ , точка не лежит на графике.

Точка не лежит на графике

Этап 5