Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.6

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.7.2.4

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ и $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} + 6 x - 3$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 3$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.6

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.7.2.4

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 5.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 5.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Этап 5.2.5.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Этап 5.2.5.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Этап 5.2.6.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Этап 5.2.7

Добавим $x$ и $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 3$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 + 6 (1) - 3$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 6 (1) - 3$

Этап 9.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$3 + 6 - 3$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ и $6$ .

$9 - 3$

Этап 9.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$6$

Этап 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + {(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1) + 4$

Этап 11.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} \cdot 1 - (1) + 4$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} - (1) + 4$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} - 1 + 4$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3}{2} - 1 + 4$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 1 + 4$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 + 4$

Этап 11.2.2.6

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} + 4$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + 4$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 4$

Этап 11.2.2.9

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{1}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 11.2.2.11

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.2.12

Умножим $2$ на $2$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 + 4 - 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 4 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (1) = \frac{1 + 4 - 6 - 4 + 16}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $1$ и $4$ .

$f (1) = \frac{5 - 6 - 4 + 16}{4}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$f (1) = \frac{- 1 - 4 + 16}{4}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 16}{4}$

Этап 11.2.5.4

Добавим $- 5$ и $16$ .

$f (1) = \frac{11}{4}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{11}{4}$ .

$y = \frac{11}{4}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2 + \sqrt{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$3 ((- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.2

Развернем $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$3 (4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.2

Добавим $4$ и $3$ .

$3 (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.3.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$3 (7 - 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 7 + 3 (- 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.5

Умножим $3$ на $7$ .

$21 + 3 (- 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.6

Умножим $- 4$ на $3$ .

$21 - 12 \sqrt{3} + 6 (- 2 + \sqrt{3}) - 3$

Этап 13.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$21 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot - 2 + 6 \sqrt{3} - 3$

Этап 13.1.8

Умножим $6$ на $- 2$ .

$21 - 12 \sqrt{3} - 12 + 6 \sqrt{3} - 3$

Этап 13.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $12$ из $21$ .

$9 - 12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 3$

Этап 13.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$6 - 12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Этап 13.2.3

Добавим $- 12 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$6 - 6 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - 2 + \sqrt{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2 + \sqrt{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 + \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{4} + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 {(- 2)}^{3} \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 \cdot (- 8 \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.5

Умножим $6$ на $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 15.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

Этап 15.2.1.2.7

Умножим $24$ на $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.8

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.11

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.11.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.11.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.13

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{2}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.2.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.3

Добавим $16$ и $72$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (88 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.4

Добавим $88$ и $9$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.5

Вычтем $24 \sqrt{3}$ из $- 32 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 - 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 97 + \frac{1}{4} \cdot (- 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $97$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (- 56 \sqrt{3}) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 56 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 14 \sqrt{3})) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 14 \sqrt{3})) + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} + {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.9

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} + {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 3 {(- 2)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 3 \cdot (4 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.6

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{3^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{27} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.9

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.9.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{9 (3)} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.10.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 8 + 12 \sqrt{3} - 18 + 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.11

Вычтем $18$ из $- 8$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 12 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.12

Добавим $12 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.13

Перепишем ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot ((- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.14

Развернем $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.15.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 - 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot 7 - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.17

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.17.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - 7 (\frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.17.2

Объединим $- 7$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.17.3

Умножим $- 7$ на $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.18.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (- 4 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2 \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.18.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2 \sqrt{3})) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.18.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 3 (- 2 \sqrt{3}) - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.19

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + 6 \sqrt{3} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} - (- 2 + \sqrt{3}) + 4$

Этап 15.2.1.21

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.1.22

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 14 \sqrt{3} - 26 + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $- 26$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 26 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.3

Объединим $- 26$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{- 26 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97 - 26 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $- 26$ на $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{97 - 104}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $104$ из $97$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.7

Чтобы записать $- \frac{21}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Умножим $\frac{21}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 21 \cdot 2}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Умножим $- 21$ на $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 42}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.10.2

Вычтем $42$ из $- 7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.13

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 2 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.15.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 8}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.15.2

Добавим $- 49$ и $8$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4$

Этап 15.2.17

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.18

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 4 \cdot 4}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.20.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 16}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.20.2

Добавим $- 41$ и $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 25}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 14 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.22

Добавим $- 14 \sqrt{3}$ и $15 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.23

Добавим $\sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 7 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2.24

Вычтем $\sqrt{3}$ из $7 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$

Этап 15.2.25

Окончательный ответ: $- \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 2 - \sqrt{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перепишем ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$3 ((- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.2

Развернем $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$3 (4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{1}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$3 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.2

Добавим $4$ и $3$ .

$3 (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.3.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$3 (7 + 4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 7 + 3 (4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.5

Умножим $3$ на $7$ .

$21 + 3 (4 \sqrt{3}) + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$21 + 12 \sqrt{3} + 6 (- 2 - \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$21 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot - 2 + 6 (- \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.8

Умножим $6$ на $- 2$ .

$21 + 12 \sqrt{3} - 12 + 6 (- \sqrt{3}) - 3$

Этап 17.1.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$21 + 12 \sqrt{3} - 12 - 6 \sqrt{3} - 3$

Этап 17.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $12$ из $21$ .

$9 + 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3$

Этап 17.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$6 + 12 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

Этап 17.2.3

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $12 \sqrt{3}$ .

$6 + 6 \sqrt{3}$

Этап 18

$x = - 2 - \sqrt{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2 - \sqrt{3}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - 2 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 - \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{4} + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 {(- 2)}^{3} (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 4 \cdot (- 8 (- \sqrt{3})) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 - 32 (- \sqrt{3}) + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $- 32$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 6 {(- 2)}^{2} {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.6

Умножим $6$ на $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.9

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.10.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 19.2.1.2.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.10.5

Найдем экспоненту.

Этап 19.2.1.2.11

Умножим $24$ на $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.12

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.15

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.16

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.17

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.17.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.17.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.19

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 - 8 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.20

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.21

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.22

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.23

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{2}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.2.25

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.3

Добавим $16$ и $72$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (88 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.4

Добавим $88$ и $9$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.5

Добавим $32 \sqrt{3}$ и $24 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot (97 + 56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 97 + \frac{1}{4} \cdot (56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $97$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (56 \sqrt{3}) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $56 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (14 \sqrt{3})) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (14 \sqrt{3})) + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} + {(- 2 - \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.9

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} + {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 3 {(- 2)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 + 12 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.8

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.10

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 + {(- \sqrt{3})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - {\sqrt{3}}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.13

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{3^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{27} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.15

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.15.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{9 (3)} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.15.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - \sqrt{3^{2} \cdot 3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - (3 \sqrt{3}) - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.10.17

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 8 - 12 \sqrt{3} - 18 - 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.11

Вычтем $18$ из $- 8$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 12 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.12

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 12 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.13

Перепишем ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot ((- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.14

Развернем $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.15.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot (7 + 4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \cdot 7 - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.17

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.17.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - 7 (\frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.17.2

Объединим $- 7$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.17.3

Умножим $- 7$ на $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.18.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (4 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2 \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.18.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2 \sqrt{3})) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.18.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 3 (2 \sqrt{3}) - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.19

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} + \frac{- 21}{2} - 6 \sqrt{3} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} - (- 2 - \sqrt{3}) + 4$

Этап 19.2.1.21

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.1.22

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.1.23

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.23.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + 1 \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.1.23.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + 14 \sqrt{3} - 26 - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.2

Чтобы записать $- 26$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} - 26 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.3

Объединим $- 26$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97}{4} + \frac{- 26 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97 - 26 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Умножим $- 26$ на $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{97 - 104}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.5.2

Вычтем $104$ из $97$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - \frac{21}{2} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.7

Чтобы записать $- \frac{21}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.8.1

Умножим $\frac{21}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{7}{4} - \frac{21 \cdot 2}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 21 \cdot 2}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.10.1

Умножим $- 21$ на $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 7 - 42}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.10.2

Вычтем $42$ из $- 7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.13

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{49}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 2 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.15.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 49 + 8}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.15.2

Добавим $- 49$ и $8$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4$

Этап 19.2.17

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.18

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{41}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 4 \cdot 4}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.20.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 41 + 16}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.20.2

Добавим $- 41$ и $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 25}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.22

Вычтем $15 \sqrt{3}$ из $14 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.23

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 7 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 19.2.24

Добавим $- 7 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$

Этап 19.2.25

Окончательный ответ: $- \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x + 4$ .

$(1, \frac{11}{4})$ — локальный минимум

$(- 2 + \sqrt{3}, - \frac{25}{4} + 6 \sqrt{3})$ — локальный максимум

$(- 2 - \sqrt{3}, - \frac{25}{4} - 6 \sqrt{3})$ — локальный минимум

Этап 21