Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 100 x^{2} + 81$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $100 x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x^{2}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.6

Добавим $200 x$ и $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1.1

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.9.2.2

Вычтем $100 x^{2}$ из $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Перепишем $100 x^{2}$ в виде ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 1.9.3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.9.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 10 x$ и $b = 9$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 10 x + 9$ и $g (x) = 10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \frac{d}{d x} (10 x - 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $10 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.4

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + 0) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Добавим $10$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \cdot 10 + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.6.2

Перенесем $10$ влево от $10 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 \cdot (10 x + 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.7

По правилу суммы производная $10 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.10

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.11

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + 0)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Добавим $10$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) \cdot 10) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.12.2

Перенесем $10$ влево от $10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 \cdot (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 2.4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.4.14

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Этап 2.4.14.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.14.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Этап 2.4.14.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Этап 2.4.14.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x) + 10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Объединим противоположные члены в $x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x (10 \cdot 9)$ и $x (10 \cdot - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + 9 \cdot (10 x) + x (10 (10 x)) - 9 \cdot (10 x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.1.2

Вычтем $9 \cdot 10 x$ из $9 \cdot 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + 0 + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.1.3

Добавим $x (10 (10 x)) + x (10 (10 x))$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x \cdot x) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 (x \cdot x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x^{2}) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.3

Умножим $10$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x \cdot x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 (x \cdot x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x^{2}) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.6

Умножим $10$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.7.1

Умножим $10$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.7.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 18) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.8

Развернем $(- 20 x - 18) (10 x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x - 9) - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x \cdot x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 (x \cdot x)) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x^{2}) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.3

Умножим $- 20$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.4

Умножим $- 9$ на $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.5

Умножим $10$ на $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.1.6

Умножим $- 18$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x + 162}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.2

Вычтем $180 x$ из $180 x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 0 + 162}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.2.9.3

Добавим $- 200 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.3

Добавим $100 x^{2}$ и $100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{200 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.4

Вычтем $200 x^{2}$ из $200 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 162}{x^{3}}$

Этап 2.6.5.5

Добавим $0$ и $162$ .

$f'' (x) = \frac{162}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $100 x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x^{2}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $2$ на $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Добавим $200 x$ и $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Этап 4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.2.1.1

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.2.2

Вычтем $100 x^{2}$ из $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.3.1

Перепишем $100 x^{2}$ в виде ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Этап 4.1.9.3.3

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $10 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $10 x + 9$ к $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Этап 5.3.2.2

Решим $10 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$10 x = - 9$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим каждый член $10 x = - 9$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $10 x = - 9$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Этап 5.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{9}{10}$

Этап 5.3.3

Приравняем $10 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $10 x - 9$ к $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Этап 5.3.3.2

Решим $10 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$10 x = 9$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим каждый член $10 x = 9$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $10 x = 9$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Этап 5.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ верно.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{9}{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{162}{{(- \frac{9}{10})}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{{(- 1)}^{3} {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Этап 9.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{162}{- {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Этап 9.1.3

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{- \frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Этап 9.1.4

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{10^{3}}}$

Этап 9.1.5

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{1000}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$162 (- \frac{1000}{729})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1000}{729}$ в числитель.

$162 (\frac{- 1000}{729})$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$81 (2) \frac{- 1000}{729}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель.

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Этап 9.3.5

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{- 1000}{9})$

Этап 9.4

Объединим $2$ и $\frac{- 1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot - 1000}{9}$

Этап 9.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $2$ на $- 1000$ .

$\frac{- 2000}{9}$

Этап 9.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2000}{9}$

Этап 10

$x = - \frac{9}{10}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{9}{10}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{9}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = \frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (1 (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.4

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.6

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{9}{10}) = (81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Добавим $81$ и $81$ .

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (- \frac{10}{9})$

Этап 11.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{9}$ в числитель.

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (\frac{- 10}{9})$

Этап 11.2.3.2.2

Вынесем множитель $9$ из $162$ .

$f (- \frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{- 10}{9})$

Этап 11.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{- 10}{9}))$

Этап 11.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{9}{10}) = 18 \cdot - 10$

Этап 11.2.3.3

Умножим $18$ на $- 10$ .

$f (- \frac{9}{10}) = - 180$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- 180$ .

$y = - 180$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{9}{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{162}{{(\frac{9}{10})}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$\frac{162}{\frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Этап 13.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{10^{3}}}$

Этап 13.1.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{1000}}$

Этап 13.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$162 (\frac{1000}{729})$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$81 (2) \frac{1000}{729}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель.

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Этап 13.3.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1000}{9})$

Этап 13.4

Объединим $2$ и $\frac{1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 1000}{9}$

Этап 13.5

Умножим $2$ на $1000$ .

$\frac{2000}{9}$

Этап 14

$x = \frac{9}{10}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9}{10}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{9}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{10}$ .

$f (\frac{9}{10}) = \frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9}{10}) = (100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{10}$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.2.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.2.4

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{10}) = (81 + 81) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Добавим $81$ и $81$ .

$f (\frac{9}{10}) = 162 (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $162$ .

$f (\frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{10}{9})$

Этап 15.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{10}{9}))$

Этап 15.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{10}) = 18 \cdot 10$

Этап 15.2.3.3

Умножим $18$ на $10$ .

$f (\frac{9}{10}) = 180$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $180$ .

$y = 180$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$ .

$(- \frac{9}{10}, - 180)$ — локальный максимум

$(\frac{9}{10}, 180)$ — локальный минимум

Этап 17