Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ в виде ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $2 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 1.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 1.2.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Этап 1.2.13

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Этап 1.2.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Этап 1.2.15

Объединим $- 3$ и $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Этап 1.2.16

Объединим $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Этап 1.2.17

Перенесем ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2.18

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.2.19.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2.19.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $2 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{3})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

Этап 2.2.10

Перенесем $2$ влево от ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.12

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.14.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.16

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.17

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (- 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.18

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot (- 3 x^{2}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.19

Объединим $- 3$ и $\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 3 (2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}})}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.20

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.21

Объединим $\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} x^{2}}{3}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.22

Перенесем ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.23

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.24

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.24.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.24.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.2.24.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (- \frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.26

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.27

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.28

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (2 x^{2})}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.29

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.29.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.29.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.29.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{4} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.30

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 \cdot x^{4}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.31

Изменим порядок $2$ и $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.32

Чтобы записать $2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.34

Умножим ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.34.1

Перенесем ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.34.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.34.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.34.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.34.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.35

Упростим $2 x {(- x^{3} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.36

Перемножим экспоненты в ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.36.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.36.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.36.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.36.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.37

Перепишем $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.38

Умножим $\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.39

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.40

Умножим ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.40.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.40.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.40.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.41

Умножим $\frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.42

Добавим $- \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 4 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.4

Добавим $- 2 x^{4}$ и $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 0}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.5

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Этап 2.4.2.6

Добавим $- \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ в виде ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 4.1.2.2.2

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $2 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Этап 4.1.2.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Этап 4.1.2.13

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Этап 4.1.2.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Этап 4.1.2.15

Объединим $- 3$ и $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Этап 4.1.2.16

Объединим $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Этап 4.1.2.17

Перенесем ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.18

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.1.2.19.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.19.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.2.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ в виде ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $2 - x^{3}$ к $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Этап 6.3.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x^{3} = - 2$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x^{3} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{3} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Этап 6.3.3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{2}$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, \sqrt[3]{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{4 (1)}{{(- {(1)}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{4}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$- \frac{4}{1^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{4}{1}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $4$ на $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4$

Этап 10

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Этап 11.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{1}$

Этап 11.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Этап 11.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \sqrt[3]{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(\sqrt[3]{2})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {\sqrt[3]{2}}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 13.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 13.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{5}}$

Этап 13.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Этап 13.2.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Этап 13.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, \sqrt[3]{2}) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 1)$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{{(2 - {(0)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.2.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 + 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.2.2.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{2^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.2.2.1.3

Разделим $0$ на $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - 0 + 1$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Этап 14.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $1.13$ , из интервала $(1, \sqrt[3]{2})$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.13$ .

$f' (1.13) = - \frac{{(1.13)}^{2}}{{(2 - {(1.13)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Возведем $1.13$ в степень $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - {1.13}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.3.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.2.1.1

Возведем $1.13$ в степень $3$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1 \cdot 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.3.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1.442897$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.3.2.1.2.2

Вычтем $1.442897$ из $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{0.557103}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.3.2.1.2.3

Возведем $0.557103$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{0.67705455} + 1$

Этап 14.3.2.1.3

Разделим $1.2769$ на $0.67705455$ .

$f' (1.13) = - 1 \cdot 1.88596323 + 1$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1.88596323$ .

$f' (1.13) = - 1.88596323 + 1$

Этап 14.3.2.2

Добавим $- 1.88596323$ и $1$ .

$f' (1.13) = - 0.88596323$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.88596323$ .

$- 0.88596323$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\sqrt[3]{2}, \infty)$ в первую производную $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(2 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.4.2.1.2.2

Вычтем $64$ из $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.4.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный максимум.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = \sqrt[3]{2}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ .

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 15