Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 11 x + 32$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 11 x + 32$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32])$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32])$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 11$ на $1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [32])$

Этап 2.1.3.6

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + 0)$

Этап 2.1.3.7

Добавим $2 x - 11$ и $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Этап 2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 11$

Этап 2.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Перенесем $- 11$ влево от $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) - 11 \cdot e^{x}$

Этап 2.1.4.3.2

Добавим $- 11 x e^{x}$ и $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 2 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Этап 2.1.4.3.2.2

Добавим $- 11 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Этап 2.1.4.3.3

Вычтем $11 e^{x}$ из $32 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Этап 2.1.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$

Этап 2.1.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.2.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x e^{x}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.3.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.3.3

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 e^{x}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.4.2

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 e^{x}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x}) - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Этап 2.2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $9 x e^{x}$ из $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Этап 2.2.5.2.1.2

Вычтем $9 x e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $- 9 e^{x}$ и $21 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 2.2.5.3

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$

Этап 2.2.5.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 7 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + 12 e^{x} = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $12 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x)$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12$ .

$e^{x} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$e^{x} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 4, 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4$ в $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = ({(4)}^{2} - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = (16 - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 11$ на $4$ .

$f (4) = (16 - 44 + 32) \cdot e^{4}$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $44$ из $16$ .

$f (4) = (- 28 + 32) \cdot e^{4}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 28$ и $32$ .

$f (4) = 4 e^{4}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Этап 4.2

Подставляя $4$ в $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , найдем точку $(4, 4 e^{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 4 e^{4})$

Этап 4.3

Подставим $3$ в $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = ({(3)}^{2} - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = (9 - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 11$ на $3$ .

$f (3) = (9 - 33 + 32) \cdot e^{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $33$ из $9$ .

$f (3) = (- 24 + 32) \cdot e^{3}$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 24$ и $32$ .

$f (3) = 8 e^{3}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $8 e^{3}$ .

$8 e^{3}$

Этап 4.4

Подставляя $3$ в $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , найдем точку $(3, 8 e^{3})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, 8 e^{3})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(4, 4 e^{4}), (3, 8 e^{3})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.9$ .

$f'' (2.9) = {(2.9)}^{2} e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2.9$ в степень $2$ .

$f'' (2.9) = 8.41 e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $8.41$ на $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 7$ на $2.9$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 20.3 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 20.3$ на $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 368.93515099 + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $368.93515099$ из $152.84456255$ .

$f'' (2.9) = - 216.09058844 + 12 e^{2.9}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 216.09058844$ и $12 e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 1.99915599$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.99915599$ .

$1.99915599$

Этап 6.3

При $2.9$ вторая производная имеет вид $1.99915599$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 3)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{7^{2}}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.4

Объединим $\frac{49}{4}$ и $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 7 (\frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Объединим $- 7$ и $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.5.2

Умножим $- 7$ на $7$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.7

Объединим $e^{\frac{7}{2}}$ и $\frac{49}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{e^{\frac{7}{2}} \cdot 49}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.1.8

Перенесем $49$ влево от $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Умножим $2$ на $- 49$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 98 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.5.1.2

Вычтем $98 e^{\frac{7}{2}}$ из $49 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Этап 7.2.6

Чтобы записать $12 e^{\frac{7}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Объединим $12 e^{\frac{7}{2}}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Умножим $4$ на $12$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 48 e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Этап 7.2.8.2

Добавим $- 49 e^{\frac{7}{2}}$ и $48 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Этап 7.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Этап 7.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Этап 7.3

При $\frac{7}{2}$ вторая производная имеет вид $- 8.27886298$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(3, 4)$ .

Убывание на $(3, 4)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = {(4.1)}^{2} e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4.1$ в степень $2$ .

$f'' (4.1) = 16.81 e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $16.81$ на $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 7$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 28.7 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 28.7$ на $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 1731.76625404 + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $1731.76625404$ из $1014.32023451$ .

$f'' (4.1) = - 717.44601953 + 12 e^{4.1}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 717.44601953$ и $12 e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 6.63743163$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $6.63743163$ .

$6.63743163$

Этап 8.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $6.63743163$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$ .

$(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$

Этап 10