Математический анализ Примеры

$5 x - 4 \ln (x)$

Этап 1

Запишем $5 x - 4 \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = 5 x - 4 \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 x - 4 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \ln (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Этап 2.1.3.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 - \frac{4}{x}$

Этап 2.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{4}{x} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{- 2} + 0$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{2}} + 0$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $\frac{4}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4}{x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба