Математический анализ Примеры

$x^{2} (x - 3) (x - 6)$

Этап 1

Запишем $x^{2} (x - 3) (x - 6)$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} (x - 3)$ и $g (x) = x - 6$ .

$x^{2} (x - 3) \frac{d}{d x} [x - 6] + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (x - 3) (1 + 0) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (x - 3) \cdot 1 + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 2.1.3

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + (x - 3) (2 x))$

Этап 2.1.4.6

Перенесем $2$ влево от $x - 3$ .

$x^{2} (x - 3) + (x - 6) (x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x)$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 (x - 3) x)$

Этап 2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x)$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + (x - 6) x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + (x - 6) (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + (x - 6) (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.8.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.8.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.2

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.8.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.8.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1} x^{2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{1 + 2} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x \cdot x) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x)) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 (x^{1} x^{1})) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{1 + 1}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.7

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.10

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x \cdot x) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x)) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 (x^{1} x^{1})) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{1 + 1}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.14

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 6 (2 x^{2}) + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.15

Умножим $2$ на $- 6$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (2 \cdot - 3 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.16

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + x (- 6 x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.20

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 2.1.5.8.21

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (- 6 x)$

Этап 2.1.5.8.22

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x^{2} + 36 x$

Этап 2.1.5.8.23

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x$

Этап 2.1.5.8.24

Добавим $x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x$

Этап 2.1.5.8.25

Вычтем $18 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Этап 2.1.5.8.26

Добавим $x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x^{2} + 36 x$

Этап 2.1.5.8.27

Вычтем $24 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 27 x^{2} + 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27 x^{2}$ по $x$ равна $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 27$ .

$12 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 \cdot 1$

Этап 2.2.4.3

Умножим $36$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 54 x + 36$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 54 x + 36$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 54 x + 36 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{2} - 54 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 54 x + 36 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $6$ из $- 54 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 36 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (6) = 0$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6) = 0$

Этап 3.2.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (6)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 (2 x^{2} - 9 x + 6) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 x^{2} - 9 x + 6)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $2 x^{2} - 9 x + 6$ на $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + 6 = \frac{0}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$2 x^{2} - 9 x + 6 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 9$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 6)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $48$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 8$ на $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $48$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 8$ на $6$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $48$ из $81$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$

Этап 3.8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}, \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3.68614066$ в $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.68614066$ .

$f (3.68614066) = {(3.68614066)}^{2} ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $3.68614066$ в степень $2$ .

$f (3.68614066) = 13.58763297 ((3.68614066) - 3) ((3.68614066) - 6)$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $3$ из $3.68614066$ .

$f (3.68614066) = 13.58763297 \cdot (0.68614066 ((3.68614066) - 6))$

Этап 4.1.2.3

Умножим $13.58763297$ на $0.68614066$ .

$f (3.68614066) = 9.32302748 ((3.68614066) - 6)$

Этап 4.1.2.4

Вычтем $6$ из $3.68614066$ .

$f (3.68614066) = 9.32302748 \cdot - 2.31385933$

Этап 4.1.2.5

Умножим $9.32302748$ на $- 2.31385933$ .

$f (3.68614066) = - 21.57217419$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $- 21.57217419$ .

$- 21.57217419$

Этап 4.2

Подставляя $3.68614066$ в $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ , найдем точку $(3.68614066, - 21.57217419)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3.68614066, - 21.57217419)$

Этап 4.3

Подставим $0.81385933$ в $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.81385933$ .

$f (0.81385933) = {(0.81385933)}^{2} ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $0.81385933$ в степень $2$ .

$f (0.81385933) = 0.66236702 ((0.81385933) - 3) ((0.81385933) - 6)$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $3$ из $0.81385933$ .

$f (0.81385933) = 0.66236702 \cdot (- 2.18614066 ((0.81385933) - 6))$

Этап 4.3.2.3

Умножим $0.66236702$ на $- 2.18614066$ .

$f (0.81385933) = - 1.44802748 ((0.81385933) - 6)$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $6$ из $0.81385933$ .

$f (0.81385933) = - 1.44802748 \cdot - 5.18614066$

Этап 4.3.2.5

Умножим $- 1.44802748$ на $- 5.18614066$ .

$f (0.81385933) = 7.50967419$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $7.50967419$ .

$7.50967419$

Этап 4.4

Подставляя $0.81385933$ в $f (x) = x^{2} (x - 3) (x - 6)$ , найдем точку $(0.81385933, 7.50967419)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.81385933, 7.50967419)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(3.68614066, - 21.57217419), (0.81385933, 7.50967419)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.81385933) \cup (0.81385933, 3.68614066) \cup (3.68614066, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.81385933)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.71385933$ .

$f'' (0.71385933) = 12 {(0.71385933)}^{2} - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.71385933$ в степень $2$ .

$f'' (0.71385933) = 12 \cdot 0.50959515 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $0.50959515$ .

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 54 \cdot 0.71385933 + 36$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 54$ на $0.71385933$ .

$f'' (0.71385933) = 6.11514185 - 38.54840427 + 36$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $38.54840427$ из $6.11514185$ .

$f'' (0.71385933) = - 32.43326241 + 36$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 32.43326241$ и $36$ .

$f'' (0.71385933) = 3.56673758$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $3.56673758$ .

$3.56673758$

Этап 6.3

При $0.71385933$ вторая производная имеет вид $3.56673758$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0.81385933)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0.81385933)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.81385933, 3.68614066)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.25$ .

$f'' (2.25) = 12 {(2.25)}^{2} - 54 \cdot 2.25 + 36$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.25$ в степень $2$ .

$f'' (2.25) = 12 \cdot 5.0625 - 54 \cdot 2.25 + 36$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 60.75 - 54 \cdot 2.25 + 36$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 54$ на $2.25$ .

$f'' (2.25) = 60.75 - 121.5 + 36$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $121.5$ из $60.75$ .

$f'' (2.25) = - 60.75 + 36$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 60.75$ и $36$ .

$f'' (2.25) = - 24.75$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 24.75$ .

$- 24.75$

Этап 7.3

При $2.25$ вторая производная имеет вид $- 24.74\overline{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.81385933, 3.68614066)$ .

Убывание на $(0.81385933, 3.68614066)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(3.68614066, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.78614066$ .

$f'' (3.78614066) = 12 {(3.78614066)}^{2} - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3.78614066$ в степень $2$ .

$f'' (3.78614066) = 12 \cdot 14.3348611 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $14.3348611$ .

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 54 \cdot 3.78614066 + 36$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 54$ на $3.78614066$ .

$f'' (3.78614066) = 172.01833331 - 204.45159572 + 36$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $204.45159572$ из $172.01833331$ .

$f'' (3.78614066) = - 32.43326241 + 36$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 32.43326241$ и $36$ .

$f'' (3.78614066) = 3.56673758$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $3.56673758$ .

$3.56673758$

Этап 8.3

При $3.78614066$ вторая производная имеет вид $3.56673758$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3.68614066, \infty)$ .

Возрастание в области $(3.68614066, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$ .

$(0.81385933, 7.50967419), (3.68614066, - 21.57217419)$

Этап 10