Математический анализ Примеры

$\frac{x + 3}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x + 3}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 3) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x + 3) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 3) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x + 3) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x + 3))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x^{4}}$

Этап 2.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 2 (x + 3))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2 (x + 3)}{x^{3}}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 3}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{x - 2 x - 6}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 6}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 6}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.4

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (6)}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (x + 6)}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.6

Перепишем $- (x + 6)$ в виде $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- 1 (x + 6)}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x + 6}{x^{3}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x + 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x^{3}}] + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x^{3} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{x^{3} - (x + 6) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.7.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 3 (x + 6) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} x - 3 (x + 6) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.7.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (x + 6) x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.7.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x + 6))$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{6}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} (x - 3 (x + 6))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + \frac{x + 6}{x^{3}} \cdot 0$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $\frac{x + 6}{x^{3}}$ на $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}} + 0$

Этап 2.2.6.2

Добавим $- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$ и $0$ .

$- \frac{x - 3 (x + 6)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x - 3 x - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$- \frac{x - 3 x - 18}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.2.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- \frac{- 2 x - 18}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- \frac{2 (- x) - 18}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$- \frac{2 (- x) + 2 (- 9)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$- \frac{2 (- x - 9)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{2 (- (x) - 9)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.5

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x) - 1 (9))}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$- \frac{2 (- (x + 9))}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.7

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x + 9))}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Этап 2.2.7.10

Умножим $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (x + 9)}{x^{4}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x + 9) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 (x + 9) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разделим каждый член $2 (x + 9) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.1.2.1.2

Разделим $x + 9$ на $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Этап 3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x + 9 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 9$ в $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{(- 9) + 3}{{(- 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Добавим $- 9$ и $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{{(- 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 6}{81}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$f (- 9) = \frac{3 (- 2)}{81}$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 9) = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 27}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 9) = \frac{- 2}{27}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 9) = - \frac{2}{27}$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{2}{27}$ .

$- \frac{2}{27}$

Этап 4.2

Подставляя $- 9$ в $f (x) = \frac{x + 3}{x^{2}}$ , найдем точку $(- 9, - \frac{2}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 9)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 ((- 9.1) + 9)}{{(- 9.1)}^{4}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $- 9.1$ и $9$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{{(- 9.1)}^{4}}$

Этап 6.2.2

Возведем $- 9.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{2 \cdot - 0.1}{6857.4961}$

Этап 6.2.3

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 9.1) = \frac{- 0.2}{6857.4961}$

Этап 6.2.4

Разделим $- 0.2$ на $6857.4961$ .

$f'' (- 9.1) = - 0.00002916$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- 0.00002916$ .

$- 0.00002916$

Этап 6.3

При $- 9.1$ вторая производная имеет вид $- 2.91651642 E - 5$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 9)$ .

Убывание на $(- \infty, - 9)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 9, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 ((- 8.9) + 9)}{{(- 8.9)}^{4}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $- 8.9$ и $9$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{{(- 8.9)}^{4}}$

Этап 7.2.2

Возведем $- 8.9$ в степень $4$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{2 \cdot 0.1}{6274.2241}$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (- 8.9) = \frac{0.2}{6274.2241}$

Этап 7.2.4

Разделим $0.2$ на $6274.2241$ .

$f'' (- 8.9) = 0.00003187$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $0.00003187$ .

$0.00003187$

Этап 7.3

При $- 8.9$ вторая производная имеет вид $3.18764514 E - 5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 9, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 9, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 9, - \frac{2}{27})$ .

$(- 9, - \frac{2}{27})$

Этап 9