Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x \ln (| x |)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Объединим $\frac{1}{| x |}$ и $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.6

Умножим $\frac{x}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.11

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.15

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Этап 1.17

Умножим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Этап 1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Этап 1.18.2

Объединим $10$ и $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Этап 1.18.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Этап 1.18.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Этап 1.18.3.2.2

Разделим $10$ на $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $10 + 10 \ln (| x |)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Этап 2.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \ln (| x |)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Этап 2.2.3

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Этап 2.2.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Этап 2.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Этап 2.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Этап 2.2.10

Объединим $10$ и $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $0$ и $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Этап 2.3.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x \ln (| x |)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Этап 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4

Объединим $\frac{1}{| x |}$ и $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.5

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.6

Умножим $\frac{x}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.11

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.15

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Этап 4.1.17

Умножим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Этап 4.1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Этап 4.1.18.2

Объединим $10$ и $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Этап 4.1.18.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Этап 4.1.18.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Этап 4.1.18.3.2.2

Разделим $10$ на $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Этап 5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Этап 5.3

Разделим каждый член $10 \ln (| x |) = - 10$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $10 \ln (| x |) = - 10$ на $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 10$ на $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (| x |) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $| x | = e^{- 1}$ .

$| x | = e^{- 1}$

Этап 5.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Этап 5.6.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Этап 5.6.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{e}$

Этап 5.6.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{e}$

Этап 5.6.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (| x |)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | \leq 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем $| x | \leq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 6.2.1.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 0$

Этап 6.2.1.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 6.2.1.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 0$

Этап 6.2.1.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 6.2.2

Найдем пересечение $x \leq 0$ и $x \geq 0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Решим $- x \leq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \geq 0$

Этап 6.2.3.2

Найдем пересечение $x \geq 0$ и $x < 0$ .

Нет решения

Этап 6.2.4

Найдем объединение решений.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{e}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Этап 9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 e$

Этап 10

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $10$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Этап 11.2.2

$\frac{1}{e}$ приблизительно равно $0.36787944$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Этап 11.2.3

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Этап 11.2.4

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 11.2.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 11.2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Этап 11.2.8

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Этап 11.2.9

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Этап 11.2.10

Умножим $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Объединим $\frac{10}{e}$ и $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Этап 11.2.10.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Этап 11.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Этап 11.2.12

Окончательный ответ: $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{e}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 (- e)$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 e$

Этап 14

$x = - \frac{1}{e}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{e}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $10 (- \frac{1}{e})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Этап 15.2.1.2

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Этап 15.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Этап 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ приблизительно равно $- 0.36787944$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{e}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Этап 15.2.4

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Этап 15.2.5

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 15.2.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 15.2.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 15.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Этап 15.2.9

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Этап 15.2.10

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Этап 15.2.11

Умножим $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Этап 15.2.11.2

Умножим $\frac{10}{e}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Этап 15.2.12

Окончательный ответ: $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ — локальный минимум

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ — локальный максимум

Этап 17