Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ в виде ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.10

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.12

Умножим $2$ на $- 12$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.13

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.15

Умножим $45$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.16

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + 0)$

Этап 1.17

Добавим $3 x^{2} - 24 x + 45$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$

Этап 1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$ .

$(3 x^{2} - 24 x + 45) \frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.2

Умножим $3 x^{2} - 24 x + 45$ на $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3.2

Разложим $x^{2} - 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 1.18.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 5) (x - 3)}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x - 5) (x - 3)}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = (x - 5) (x - 3)$ и $g (x) = {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 3)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

Этап 2.4

Упростим.

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 5$ и $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.5

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + (x - 3) \cdot 1) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.8.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x - 5 + x - 3) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 5 - 3) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.6.8.4

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.7.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.12.3

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.13

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.15

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.17

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (45 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.18

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.20

Умножим $45$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} (2)))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$

Этап 2.21

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

Этап 2.22

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1

Добавим $3 x^{2} - 24 x + 45$ и $0$ .

Этап 2.22.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))}{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) - (x - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Этап 2.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Этап 2.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 ((- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Этап 2.23.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 ((- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + 3 (- x - - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - - 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45))$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)) + 3 (((- x - - 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)))$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8) + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x) + {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 8 + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 8 + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.4

Перенесем $- 8$ влево от ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 \cdot {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + ((- x + 5) (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.5

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 5) (x - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.6

Развернем $(- x + 5) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x (x - 3) + 5 (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (x - 3)) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.7.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 3 x + 5 x + 5 \cdot - 3) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.7.1.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 3 x + 5 x - 15) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.7.2

Добавим $3 x$ и $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 x^{2} - 24 x + 45)))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.8

Умножим $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9.1.3

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.9.2

Разложим $x^{2} - 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.9.2.1

$- 5, - 3$

Этап 2.23.4.9.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + (- x^{2} + 8 x - 15) (\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.10

Умножим $- x^{2} + 8 x - 15$ на $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 8 x - 15) (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.11.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.11.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.11.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 8 (x) - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.1.1.2

Запишем $8$ как $3$ плюс $5$

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + (3 + 5) x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x^{2} + 3 x + 5 x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.11.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{((- x^{2} + 3 x) + 5 x - 15) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(x (- x + 3) - 5 (- x + 3)) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) (x - 5) \cdot (3 (x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.11.2.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 ((x - 5) (x - 5)) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.2

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.11.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{1 + 1} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- x + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- (x) + 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.6

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- (x - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.8

Перепишем $- (x - 3)$ в виде $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 (x - 3) \cdot (3 {(x - 5)}^{2} (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.9

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} ((x - 3) (x - 3)))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.10

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.11.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{1 + 1})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1 \cdot (3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.11.2.13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.13

Чтобы записать $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.14

Объединим $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.16

Чтобы записать $- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.17

Объединим $- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19

Перепишем $\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} x (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.1

Умножим ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.1.1

Перенесем ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2}} x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.2

Упростим $2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1} x \cdot 2$ .

Этап 2.23.4.19.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.4.1

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 2 (45 x) + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.4.2

Умножим $45$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 2 \cdot 2) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4) x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{3} x - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 (x \cdot x^{3}) - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.19.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{1 + 3} - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{2} x + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 (x \cdot x^{2}) + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.19.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{1 + 2} + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 x \cdot x + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.6.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 (x \cdot x) + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{(2 x^{4} - 24 x^{3} + 90 x^{2} + 4 x) \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x^{4} \cdot 2 - 24 x^{3} \cdot 2 + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 24 x^{3} \cdot 2 + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.8.2

Умножим $2$ на $- 24$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 90 x^{2} \cdot 2 + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.8.3

Умножим $2$ на $90$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 4 x \cdot 2 - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.8.4

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 {(x - 5)}^{2} {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.9

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 ((x - 5) (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.10

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x (x - 5) - 5 (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.11.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.11.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.11.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.11.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} - 10 x + 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.13.1

Умножим $- 10$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 3 \cdot 25) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.13.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) {(x - 3)}^{2} - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.14

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) ((x - 3) (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.15

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.16.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.16.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.16.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.16.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + (- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 6 x + 9) - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.17

Развернем $(- 3 x^{2} + 30 x - 75) (x^{2} - 6 x + 9)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{2 + 2} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 x^{2} (- 6 x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{2} x) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 (x \cdot x^{2})) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.19.18.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{1 + 2}) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} - 3 \cdot (- 6 x^{3}) - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.4

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 3 x^{2} \cdot 9 + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.5

Умножим $9$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x \cdot x^{2} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 (x^{2} x) + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.23.4.19.18.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{2 + 1} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 x (- 6 x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 x \cdot x) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.18.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 (x \cdot x)) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} + 30 \cdot (- 6 x^{2}) + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.9

Умножим $30$ на $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 30 x \cdot 9 - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.10

Умножим $9$ на $30$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} - 75 (- 6 x) - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.11

Умножим $- 6$ на $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 75 \cdot 9 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.18.12

Умножим $- 75$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 27 x^{2} + 30 x^{3} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.19

Добавим $18 x^{3}$ и $30 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 27 x^{2} - 180 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.20

Вычтем $180 x^{2}$ из $- 27 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 207 x^{2} + 270 x - 75 x^{2} + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.21

Вычтем $75 x^{2}$ из $- 207 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 270 x + 450 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.22

Добавим $270 x$ и $450 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.23

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.24

Умножим ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.24.1

Перенесем ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 ({(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.24.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.24.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.24.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 8 \cdot (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.25

Упростим $- 8 \cdot 2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1}$ .

Этап 2.23.4.19.26

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.27

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} - 16 (- 12 x^{2}) - 16 (45 x) - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.4.19.28.1

Умножим $- 12$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 16 (45 x) - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.28.2

Умножим $45$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 16 \cdot 2}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.28.3

Умножим $- 16$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x - 3 x^{4} + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.29

Вычтем $3 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 48 x^{3} + 180 x^{2} + 8 x + 48 x^{3} - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.30

Добавим $- 48 x^{3}$ и $48 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 180 x^{2} + 8 x + 0 - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.31

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 180 x^{2} + 8 x - 282 x^{2} + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.32

Вычтем $282 x^{2}$ из $180 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 102 x^{2} + 8 x + 720 x - 675 - 16 x^{3} + 192 x^{2} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.33

Добавим $- 102 x^{2}$ и $192 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x + 720 x - 675 - 16 x^{3} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.34

Добавим $8 x$ и $720 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 728 x - 675 - 16 x^{3} - 720 x - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.35

Вычтем $720 x$ из $728 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x - 675 - 16 x^{3} - 32}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.36

Вычтем $32$ из $- 675$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} + 90 x^{2} + 8 x - 16 x^{3} - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.4.19.37

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.5.1

Объединим $3$ и $\frac{x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.5.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 2 (45 x) + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.5.3

Умножим $45$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 2 \cdot 2}$

Этап 2.23.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$

Этап 2.23.5.5

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$

Этап 2.23.5.6

Умножим $\frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4)}$

Этап 2.23.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 24 x^{2} + 90 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) - 24 x^{2} + 90 x + 4)}$

Этап 2.23.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 90 x + 4)}$

Этап 2.23.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $90 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 4)}$

Этап 2.23.6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2)}$

Этап 2.23.6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 \cdot 2)}$

Этап 2.23.6.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x) + 2 \cdot 2)}$

Этап 2.23.6.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x) + 2 \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2))}$

Этап 2.23.6.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}$

Этап 2.23.6.2.2

Возведем $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 ((x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2) {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.23.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.23.6.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.23.6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.23.6.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x^{4} - 16 x^{3} + 90 x^{2} + 8 x - 707)}{4 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ в виде ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.7.3

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2]$

Этап 4.1.8

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.10

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.12

Умножим $2$ на $- 12$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [45 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.13

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.15

Умножим $45$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.1.16

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45 + 0)$

Этап 4.1.17

Добавим $3 x^{2} - 24 x + 45$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$

Этап 4.1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} - 24 x + 45)$ .

$(3 x^{2} - 24 x + 45) \frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.2

Умножим $3 x^{2} - 24 x + 45$ на $\frac{1}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 24 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 24 x + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 45}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 15$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 15)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.18.3.2

Разложим $x^{2} - 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.2.1

$- 5, - 3$

Этап 4.1.18.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{3 ((x - 5) (x - 3))}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 {(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (x - 5) (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 5) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 5, 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{{(x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 (x - 5) (x - 3)}{2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2} = 0$

Этап 6.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2 < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.04392798$

Этап 6.5.2

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 0.04392798$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < - 0.04392798$

$(- \infty, - 0.04392798)$

$x < - 0.04392798$

$(- \infty, - 0.04392798)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 5, 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 ({(5)}^{4} - 16 {(5)}^{3} + 90 {(5)}^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {({(5)}^{3} - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{3 (625 - 16 \cdot 5^{3} + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{3 (625 - 16 \cdot 125 + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 16$ на $125$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 90 \cdot 5^{2} + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 90 \cdot 25 + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Умножим $90$ на $25$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 2250 + 8 (5) - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6

Умножим $8$ на $5$ .

$\frac{3 (625 - 2000 + 2250 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.7

Вычтем $2000$ из $625$ .

$\frac{3 (- 1375 + 2250 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.8

Добавим $- 1375$ и $2250$ .

$\frac{3 (875 + 40 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.9

Добавим $875$ и $40$ .

$\frac{3 (915 - 707)}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.10

Вычтем $707$ из $915$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 12 \cdot 5^{2} + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 12 \cdot 25 + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.3

Умножим $- 12$ на $25$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 300 + 45 (5) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4

Умножим $45$ на $5$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(125 - 300 + 225 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $300$ из $125$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(- 175 + 225 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Добавим $- 175$ и $225$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 {(50 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.4

Добавим $50$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 208}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $208$ .

$\frac{624}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $4$ из $624$ .

$\frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 156}{4 (52^{\frac{3}{2}})}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 52^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{156}{52^{\frac{3}{2}}}$

Этап 10

$x = 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{{(5)}^{3} - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 12 {(5)}^{2} + 45 (5) + 2}$

Этап 11.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 12 \cdot 25 + 45 (5) + 2}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 12$ на $25$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 300 + 45 (5) + 2}$

Этап 11.2.4

Умножим $45$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{125 - 300 + 225 + 2}$

Этап 11.2.5

Вычтем $300$ из $125$ .

$f (5) = \sqrt{- 175 + 225 + 2}$

Этап 11.2.6

Добавим $- 175$ и $225$ .

$f (5) = \sqrt{50 + 2}$

Этап 11.2.7

Добавим $50$ и $2$ .

$f (5) = \sqrt{52}$

Этап 11.2.8

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$f (5) = \sqrt{4 (13)}$

Этап 11.2.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Этап 11.2.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (5) = 2 \sqrt{13}$

Этап 11.2.10

Окончательный ответ: $2 \sqrt{13}$ .

$y = 2 \sqrt{13}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 ({(3)}^{4} - 16 {(3)}^{3} + 90 {(3)}^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {({(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{3 (81 - 16 \cdot 3^{3} + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{3 (81 - 16 \cdot 27 + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.3

Умножим $- 16$ на $27$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 90 \cdot 3^{2} + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 90 \cdot 9 + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.5

Умножим $90$ на $9$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 810 + 8 (3) - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.6

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{3 (81 - 432 + 810 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.7

Вычтем $432$ из $81$ .

$\frac{3 (- 351 + 810 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.8

Добавим $- 351$ и $810$ .

$\frac{3 (459 + 24 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.9

Добавим $459$ и $24$ .

$\frac{3 (483 - 707)}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10

Вычтем $707$ из $483$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 12 \cdot 9 + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.3

Умножим $- 12$ на $9$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 108 + 45 (3) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4

Умножим $45$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(27 - 108 + 135 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2

Вычтем $108$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(- 81 + 135 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.3

Добавим $- 81$ и $135$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 {(54 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.4

Добавим $54$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot - 224}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $3$ на $- 224$ .

$\frac{- 672}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 672$ .

$\frac{4 \cdot - 168}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot - 168}{4 (56^{\frac{3}{2}})}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 168}{4 \cdot 56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 168}{56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{168}{56^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14

$x = 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{{(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 12 {(3)}^{2} + 45 (3) + 2}$

Этап 15.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 12 \cdot 9 + 45 (3) + 2}$

Этап 15.2.3

Умножим $- 12$ на $9$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 108 + 45 (3) + 2}$

Этап 15.2.4

Умножим $45$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{27 - 108 + 135 + 2}$

Этап 15.2.5

Вычтем $108$ из $27$ .

$f (3) = \sqrt{- 81 + 135 + 2}$

Этап 15.2.6

Добавим $- 81$ и $135$ .

$f (3) = \sqrt{54 + 2}$

Этап 15.2.7

Добавим $54$ и $2$ .

$f (3) = \sqrt{56}$

Этап 15.2.8

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$f (3) = \sqrt{4 (14)}$

Этап 15.2.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 14}$

Этап 15.2.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (3) = 2 \sqrt{14}$

Этап 15.2.10

Окончательный ответ: $2 \sqrt{14}$ .

$y = 2 \sqrt{14}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2}$ .

$(5, 2 \sqrt{13})$ — локальный минимум

$(3, 2 \sqrt{14})$ — локальный максимум

Этап 17