Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 5

Разложим $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 5.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Этап 5.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 7.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 7.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 7.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 7.2.7

Решение уравнения $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Этап 8

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 8.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 8.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 8.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 8.2.6

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, 0, 2 π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3})) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- 2 (- \sqrt{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 11.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 11.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.8.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.1.8.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Этап 11.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Этап 12

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2.1.2

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 13.2.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Этап 13.2.1.7

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 13.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Этап 13.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Этап 13.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.4.2

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = \frac{4 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \sin (2 (\frac{4 π}{3})) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (4 π)}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- 4 \sin (\frac{8 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 15.1.6

$- 2 \sqrt{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 15.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.1.8.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.1.8.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Этап 15.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Этап 16

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sin (2 (\frac{4 π}{3})) - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Умножим $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{2 (4 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2.1.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{8 π}{3}) - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3}) - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2.1.5

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 17.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 17.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 17.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 17.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 (- \sqrt{3})$

Этап 17.2.1.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \sqrt{3}$

Этап 17.2.1.9

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$

Этап 17.2.2

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 17.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Этап 17.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Этап 17.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.4.2

Добавим $\sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 18

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \sin (2 (0)) + 2 \sin (0)$

Этап 19

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- 4 \sin (0) + 2 \sin (0)$

Этап 19.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 4 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Этап 19.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Этап 19.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Этап 19.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 19.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 20

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Этап 20.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 \cos (2 (- 2)) - 2 \cos (- 2)$

Этап 20.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 \cos (- 4) - 2 \cos (- 2)$

Этап 20.2.2.1.2

Найдем значение $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 \cdot - 0.65364362 - 2 \cos (- 2)$

Этап 20.2.2.1.3

Умножим $2$ на $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = - 1.30728724 - 2 \cos (- 2)$

Этап 20.2.2.1.4

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.30728724 - 2 \cdot - 0.41614683$

Этап 20.2.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.30728724 + 0.83229367$

Этап 20.2.2.2

Добавим $- 1.30728724$ и $0.83229367$ .

$f' (- 2) = - 0.47499356$

Этап 20.2.2.3

Окончательный ответ: $- 0.47499356$ .

$- 0.47499356$

Этап 20.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{2 π}{3})$ в первую производную $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 2 \cos (2 (1)) - 2 \cos (1)$

Этап 20.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2 \cos (2) - 2 \cos (1)$

Этап 20.3.2.1.2

Найдем значение $\cos (2)$ .

$f' (1) = 2 \cdot - 0.41614683 - 2 \cos (1)$

Этап 20.3.2.1.3

Умножим $2$ на $- 0.41614683$ .

$f' (1) = - 0.83229367 - 2 \cos (1)$

Этап 20.3.2.1.4

Найдем значение $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.83229367 - 2 \cdot 0.5403023$

Этап 20.3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $0.5403023$ .

$f' (1) = - 0.83229367 - 1.08060461$

Этап 20.3.2.2

Вычтем $1.08060461$ из $- 0.83229367$ .

$f' (1) = - 1.91289828$

Этап 20.3.2.3

Окончательный ответ: $- 1.91289828$ .

$- 1.91289828$

Этап 20.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ в первую производную $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 2 \cos (2 (3)) - 2 \cos (3)$

Этап 20.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (3) = 2 \cos (6) - 2 \cos (3)$

Этап 20.4.2.1.2

Найдем значение $\cos (6)$ .

$f' (3) = 2 \cdot 0.96017028 - 2 \cos (3)$

Этап 20.4.2.1.3

Умножим $2$ на $0.96017028$ .

$f' (3) = 1.92034057 - 2 \cos (3)$

Этап 20.4.2.1.4

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1.92034057 - 2 \cdot - 0.98999249$

Этап 20.4.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1.92034057 + 1.97998499$

Этап 20.4.2.2

Добавим $1.92034057$ и $1.97998499$ .

$f' (3) = 3.90032556$

Этап 20.4.2.3

Окончательный ответ: $3.90032556$ .

$3.90032556$

Этап 20.5

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(\frac{4 π}{3}, 2 π)$ в первую производную $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 2 \cos (2 (5)) - 2 \cos (5)$

Этап 20.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.2.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (5) = 2 \cos (10) - 2 \cos (5)$

Этап 20.5.2.1.2

Найдем значение $\cos (10)$ .

$f' (5) = 2 \cdot - 0.83907152 - 2 \cos (5)$

Этап 20.5.2.1.3

Умножим $2$ на $- 0.83907152$ .

$f' (5) = - 1.67814305 - 2 \cos (5)$

Этап 20.5.2.1.4

Найдем значение $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 1.67814305 - 2 \cdot 0.28366218$

Этап 20.5.2.1.5

Умножим $- 2$ на $0.28366218$ .

$f' (5) = - 1.67814305 - 0.56732437$

Этап 20.5.2.2

Вычтем $0.56732437$ из $- 1.67814305$ .

$f' (5) = - 2.24546742$

Этап 20.5.2.3

Окончательный ответ: $- 2.24546742$ .

$- 2.24546742$

Этап 20.6

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(2 π, \infty)$ в первую производную $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = 2 \cos (2 (9)) - 2 \cos (9)$

Этап 20.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.2.1.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (9) = 2 \cos (18) - 2 \cos (9)$

Этап 20.6.2.1.2

Найдем значение $\cos (18)$ .

$f' (9) = 2 \cdot 0.6603167 - 2 \cos (9)$

Этап 20.6.2.1.3

Умножим $2$ на $0.6603167$ .

$f' (9) = 1.32063341 - 2 \cos (9)$

Этап 20.6.2.1.4

Найдем значение $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1.32063341 - 2 \cdot - 0.91113026$

Этап 20.6.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1.32063341 + 1.82226052$

Этап 20.6.2.2

Добавим $1.32063341$ и $1.82226052$ .

$f' (9) = 3.14289394$

Этап 20.6.2.3

Окончательный ответ: $3.14289394$ .

$3.14289394$

Этап 20.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 20.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{2 π}{3}$ , $x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 20.9

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{4 π}{3}$ , $x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум.

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 20.10

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2 π$ , $x = 2 π$ — локальный минимум.

$x = 2 π$ — локальный минимум

Этап 20.11

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум

$x = 2 π$ — локальный минимум

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

$x = \frac{4 π}{3}$ — локальный максимум

$x = 2 π$ — локальный минимум

Этап 21