Математический анализ Примеры

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 16 x^{2} + 25$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $16 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.6

Добавим $32 x$ и $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 2.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 2.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 2.9.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.9.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 x$ и $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x + 5$ и $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $4$ влево от $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.7

По правилу суммы производная $4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.10

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.12.2

Перенесем $4$ влево от $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 3.4.14

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Этап 3.4.14.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.14.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Этап 3.4.14.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Этап 3.4.14.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Этап 3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.5

Перенесем $20$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.7.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.8

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.9

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.10

Перенесем $- 20$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.11.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.11.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.12

Развернем $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.13.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.13.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.4

Умножим $- 5$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.5

Умножим $4$ на $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.1.6

Умножим $- 10$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.2

Вычтем $40 x$ из $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.1.13.3

Добавим $- 32 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.2

Объединим противоположные члены в $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Вычтем $20 x$ из $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.2.2

Добавим $16 x^{2} + 16 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.3

Добавим $16 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.4

Вычтем $32 x^{2}$ из $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Этап 3.6.5.5

Добавим $0$ и $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $16 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Добавим $32 x$ и $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 5.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Этап 5.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.2.1.1

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.2.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.3.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.3.3

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 6.3.2

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Этап 6.3.2.2

Решим $4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 5$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Этап 6.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{4}$

Этап 6.3.3

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 6.3.3.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 6.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 6.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Этап 10.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Этап 10.1.3

Применим правило умножения к $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Этап 10.1.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Этап 10.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Этап 10.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$50 (- \frac{64}{125})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{64}{125}$ в числитель.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Этап 10.3.4

Сократим общий множитель.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Этап 10.3.5

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Этап 10.4

Объединим $2$ и $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Этап 10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $2$ на $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Этап 10.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{128}{5}$

Этап 11

$x = - \frac{5}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5}{4}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.3

Умножим $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.6

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Добавим $25$ и $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Этап 12.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Этап 12.2.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Этап 12.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Этап 12.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Этап 12.2.3.3

Умножим $10$ на $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $- 40$ .

$y = - 40$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{5}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{4}$ .

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Этап 14.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Этап 14.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Этап 14.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$50 (\frac{64}{125})$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$25 (2) \frac{64}{125}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Этап 14.3.4

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{64}{5})$

Этап 14.4

Объединим $2$ и $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Этап 14.5

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{5}$

Этап 15

$x = \frac{5}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5}{4}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.2.4

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Добавим $25$ и $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Этап 16.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Этап 16.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Этап 16.2.3.3

Умножим $10$ на $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $40$ .

$y = 40$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ — локальный максимум

$(\frac{5}{4}, 40)$ — локальный минимум

Этап 18