Математический анализ Примеры

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1

Запишем $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ в виде ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Этап 2.3.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4.7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.7.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Этап 2.4.7.2

Применим правило умножения к $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.8

Умножим $- 2 x + 4$ на $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.9.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.9.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.11

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.13

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.6.2

Объединим $- 16$ и $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим правило умножения к $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.1.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.2

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.3

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.4.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.4.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.4.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.6.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.6.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.6.3

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.7.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.5

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.6

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.7.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.7.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.9.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.9.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.11.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.11.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.11.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.9.11.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.9.11.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.10

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.11

Вычтем $16 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.12

Развернем $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.6

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.13.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.9

Умножим $- 1$ на $32$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.10

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.11

Умножим $- 24$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.13.12

Умножим $32$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.14

Добавим $24 x^{3}$ и $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.15

Вычтем $48 x^{2}$ из $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.16

Вычтем $4 x^{4}$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.17

Добавим $- 8 x^{3}$ и $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.18

Вычтем $80 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19

Перепишем $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.19.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.19.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.2

Вынесем множитель $x$ из $24 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 64 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.4

Вынесем множитель $x$ из $64 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.6.19.2

Разложим $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.19.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 3.7.6.19.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

Этап 3.7.6.19.2.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.19.2.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.3

Умножим $- 3$ на $64$ .

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.5

Умножим $24$ на $16$ .

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.6

Добавим $- 192$ и $384$ .

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.7

Умножим $- 64$ на $4$ .

$192 - 256 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.8

Вычтем $256$ из $192$ .

$- 64 + 64$

Этап 3.7.6.19.2.3.9

Добавим $- 64$ и $64$ .

$0$

Этап 3.7.6.19.2.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

Этап 3.7.6.19.2.5

Разделим $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.19.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 3.7.6.19.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 3.7.6.19.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Этап 3.7.6.19.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Этап 3.7.6.19.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Этап 3.7.6.19.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

Этап 3.7.6.19.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} - 48 x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

Этап 3.7.6.19.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

Этап 3.7.6.19.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x + 64$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 3.7.6.19.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

Этап 3.7.6.19.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

Этап 3.7.6.19.2.6

Запишем $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ в виде набора множителей.

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.7.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.7.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.7.7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 3.7.7.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.3.1

Вынесем множитель $x$ из $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 3.7.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 3.7.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Этап 3.7.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 3.7.7.4

Сократим общий множитель $x - 4$ и ${(x - 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.4.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Этап 3.7.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.4.2.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 3.7.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Этап 3.7.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.11

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.13

Перепишем $- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 3.7.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Этап 3.7.16

Умножим $\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ в виде ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Этап 5.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 5.1.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Этап 5.1.3.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 5.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 5.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Этап 5.1.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Этап 5.1.4.7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.7.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Этап 5.1.4.7.2

Применим правило умножения к $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.8

Умножим $- 2 x + 4$ на $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.9.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.9.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.11

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.13

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$16 (x - 2) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $16 (x - 2) = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $16 (x - 2) = 0$ на $16$ .

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $x - 2$ на $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{16}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 7.2.2.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.2.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.3

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 7.2.3.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 7.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0, x = 4$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 12$ на $2$ .

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.1.4

Вычтем $24$ из $12$ .

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.1.5

Добавим $- 12$ и $16$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $16$ на $4$ .

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

Этап 10.3.2

Умножим $8$ на $- 8$ .

$\frac{64}{- 64}$

Этап 10.3.3

Разделим $64$ на $- 64$ .

$- 1$

Этап 11

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ и ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

Этап 12.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

Этап 12.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

Этап 12.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2 - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

Этап 12.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

Этап 12.2.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.2.2.4

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Этап 12.2.1.2.2.5

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

Этап 12.2.3

Разделим $2$ на $- 1$ .

$f (2) = - 2$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ .

$(2, - 2)$ — локальный максимум

Этап 14