Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{8 x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 8 x + 3$ .

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $8 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим противоположные члены в $8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $8 x \cdot 1$ и $- x \cdot 8$ .

$\frac{1 \cdot 8 x + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 8 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $8 x$ из $1 \cdot 8 x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 0}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $3 \cdot 1$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 1}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{{(8 x + 3)}^{2}}$