Математический анализ Примеры

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила частного. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.5

Поскольку $12 y^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $12 x y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем $12$ влево от ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Умножим $12$ на $12$ .

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $3$ .

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

Этап 8

Умножим ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ на $1$ .

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $144$ и $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.3

Перенесем $144$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

Этап 9.4

Изменим порядок множителей в $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$