Математический анализ Примеры

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 x e^{x^{2}} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{y (3 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y (3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y (3 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y (3 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.10

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.11

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (3 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{y (6 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 3 e^{x^{2}} + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 5.2.2

Добавим $6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{y (6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $6 e^{x^{2}} x^{2} + 3 e^{x^{2}}$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 6

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (6 x^{2} e^{x^{2}}) + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + y (3 e^{x^{2}}) - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.4

Умножим $- 3 x e^{x^{2}} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.4.1

Умножим $0$ на $- 3$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.4.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.4.3

Умножим $0$ на $e^{x^{2}}$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 1 \cdot 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.5

Умножим $- 1 \cdot 8 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 - 8 \cdot 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.1.5.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.2

Объединим противоположные члены в $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}} + 0}{y^{2}}$

Этап 7.4.2.2

Добавим $6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{6 y x^{2} e^{x^{2}} + 3 y e^{x^{2}}}{y^{2}}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$\frac{6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $3 e^{x^{2}} y$ из $6 e^{x^{2}} x^{2} y + 3 e^{x^{2}} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $3 e^{x^{2}} y$ из $6 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y}{y^{2}}$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $3 e^{x^{2}} y$ из $3 e^{x^{2}} y$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)}{y^{2}}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $3 e^{x^{2}} y$ из $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2}) + 3 e^{x^{2}} y (1)$ .

$\frac{3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)}{y^{2}}$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вынесем множитель $y$ из $3 e^{x^{2}} y (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y^{2}}$

Этап 7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Этап 7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1))}{y \cdot y}$

Этап 7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 e^{x^{2}} (2 x^{2} + 1)}{y}$