Математический анализ Примеры

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ имеет вид $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ , где $f (s) = t^{2} + 5 t - 1$ и $g (s) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d s} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $t^{2} + 5 t - 1$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $t^{2}$ является константой относительно $s$ , производная $t^{2}$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $5 t$ является константой относительно $s$ , производная $5 t$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $s$ , производная $- 1$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 4

Поскольку $t^{2}$ является константой относительно $s$ , производная $t^{2}$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} \cdot 0 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} \cdot 0 - t^{2} \cdot 0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $t^{2} \cdot 0$ из $t^{2} \cdot 0$ .

$\frac{0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $5 t \cdot 0$ из $0$ .

$\frac{- (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 5 t \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 5 t \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $0$ на $- 5$ .

$\frac{0 t - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $0$ на $t$ .

$\frac{0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- - 1 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 5.4

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{t^{2 \cdot 2}}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{t^{4}}$

Этап 5.5

Разделим $0$ на $t^{4}$ .

$0$