Математический анализ Примеры

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Объединим $8$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Вынесем множитель $2$ из $24 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11.4

Разделим $12 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 13.1.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $8 x^{\frac{3}{2}}$ из $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Этап 13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Этап 13.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Этап 13.2.2.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$