Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $8 x$ и $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.1.7

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Вычтем $8 x^{5}$ из $16 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{5} + 16 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $16 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $4 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $8$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$