Математический анализ Примеры

$- \frac{y + 1}{x - 1}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила частного. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- (y + 1)$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y + 1}{x - 1}$ по $x$ равна $- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$- (y + 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (y + 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$- (y + 1) (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.2

Умножим $y + 1$ на $1$ .

$(y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 4.6.2

Умножим $y + 1$ на $1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(y + 1) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $y + 1$ на $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{{(x - 1)}^{2}}$