Математический анализ Примеры

$\frac{x^{5} + 1}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{5} + 1$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} + 1] - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{5} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) + (- x^{5} - 1 \cdot 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 x^{4} x^{4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{4 + 4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{5 x^{8} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{5} x^{3} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x^{5}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 (x^{3} x^{5}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{3 + 5} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.3

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $4 x^{8}$ из $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8} - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4}{x^{8}}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{8}}$

Этап 3.4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Этап 3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{5} - 4}{x^{5}}$