Математический анализ Примеры

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \sqrt{t}$ и $g (t) = 2 t - 5$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $2 t - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 10

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 11.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.2

Объединим $t$ и $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.3

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.4

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.5

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Чтобы записать $t^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.2

Объединим $t^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.2

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.4.3

Упростим $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.5

Чтобы записать $- 2 \sqrt{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.6

Объединим $- 2 \sqrt{t}$ и $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1

Умножим $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.2

Упростим.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.3.8.3

Вычтем $4 t$ из $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.5

Умножим $\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.7

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.9

Перепишем $- (2 t + 5)$ в виде $- 1 (2 t + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Этап 12.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 t + 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$