Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $8 x^{6} - 6 x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{6}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{8}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим $8$ на $- 6$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Перенесем $x^{7}$ .

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.2.3

Добавим $7$ и $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.4

Умножим $x^{4}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.4.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.4.3

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.5

Умножим $x^{6}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.5.3

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.7

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.8

Умножим $x^{8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.8.3

Добавим $3$ и $8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.9

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.1.10

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.2

Добавим $- 48 x^{11}$ и $24 x^{11}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.4.3

Вычтем $32 x^{9}$ из $48 x^{9}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 6.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 6.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $8 x^{9}$ из $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $8 x^{9}$ из $- 24 x^{11}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $8 x^{9}$ из $16 x^{9}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $8 x^{9}$ из $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

Этап 6.7

Сократим общий множитель $x^{9}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $x^{8}$ из $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

Этап 6.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Этап 6.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

Этап 6.7.2.4

Разделим $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ на $1$ .

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

Этап 6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

Этап 6.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

Этап 6.10

Умножим $2$ на $8$ .

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

Этап 6.11.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

Этап 6.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

Этап 6.11.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

Этап 6.11.2

Умножим $8$ на $- 3$ .

$- 24 x^{3} + 16 x$