Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)}{3 x + 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)$ и $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)] - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 7$ и $g (x) = x^{2} - 3$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перенесем $2$ влево от $3 x^{2} + 5 x - 7$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 5 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.11

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.12

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + 0)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.13

Добавим $6 x + 5$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) ((2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{2} x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.5

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x \cdot x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.10

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.11.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x \cdot x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1} x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1 + 2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{3} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.12

Перенесем $6$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 \cdot x^{3} - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.13

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.14

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 \cdot x^{2} - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.15

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.16

Добавим $6 x^{3}$ и $6 x^{3}$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.17

Вычтем $18 x$ из $- 14 x$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 32 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.18

Добавим $10 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 5

По правилу суммы производная $3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 7.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Развернем $(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{3 x (12 x^{3}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot 12 x \cdot x^{3} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x^{1}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \cdot 12 x^{3 + 1} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{3 \cdot 12 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x \cdot x^{2} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{2 + 1} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.6

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x \cdot x + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.8.1

Перенесем $x$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.9

Умножим $3$ на $- 32$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.10

Умножим $- 15$ на $3$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.11

Умножим $12$ на $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.12

Умножим $15$ на $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.13

Умножим $- 32$ на $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.14

Умножим $5$ на $- 15$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Добавим $45 x^{3}$ и $60 x^{3}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Добавим $- 96 x^{2}$ и $75 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 45 x - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Вычтем $160 x$ из $- 45 x$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Развернем $(- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.2

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x^{1}) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{2 + 1} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.4

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.5

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Добавим $9 x^{2}$ и $7 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 16 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 3 x^{4} \cdot 3 + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.11.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11.2

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11.4

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11.5

Умножим $- 21$ на $3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Вычтем $9 x^{4}$ из $36 x^{4}$ .

$\frac{27 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.3

Вычтем $15 x^{3}$ из $105 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.4

Добавим $- 21 x^{2}$ и $48 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 205 x - 75 + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.5

Добавим $- 205 x$ и $45 x$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 75 - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Этап 8.2.6

Вычтем $63$ из $- 75$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 138}{{(3 x + 5)}^{2}}$