Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{{(4 x - 3)}^{8}}$ , $x = 1$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Этап 1.2.2

Упростим $\frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 3)}^{8}}$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$y = \frac{1}{1^{8}}$

Этап 1.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.2.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{({(4 x - 3)}^{8})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 3)}^{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{8 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.2.3

Умножим ${(4 x - 3)}^{8}$ на $1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = 4 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 {(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель ${(4 x - 3)}^{7}$ из ${(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель ${(4 x - 3)}^{7}$ из ${(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель ${(4 x - 3)}^{7}$ из $- 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель ${(4 x - 3)}^{7}$ из ${(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель ${(4 x - 3)}^{7}$ из ${(4 x - 3)}^{16}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.9

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.11.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{4 x - 3 - 32 x}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.11.3

Вычтем $32 x$ из $4 x$ .

$\frac{- 28 x - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 28 x$ .

$\frac{- (28 x) - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.12.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x) - 1 (3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (28 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.12.4

Перепишем $- (28 x + 3)$ в виде $- 1 (28 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{28 x + 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Этап 2.13

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{28 (1) + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Этап 2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.1

Умножим $28$ на $1$ .

$- \frac{28 + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Этап 2.14.1.2

Добавим $28$ и $3$ .

$- \frac{31}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Этап 2.14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{31}{{(4 - 3)}^{9}}$

Этап 2.14.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$- \frac{31}{1^{9}}$

Этап 2.14.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{31}{1}$

Этап 2.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1

Разделим $31$ на $1$ .

$- 1 \cdot 31$

Этап 2.14.3.2

Умножим $- 1$ на $31$ .

$- 31$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 31$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 31 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 31 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 31 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 31 x - 31 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 31$ на $- 1$ .

$y - 1 = - 31 x + 31$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - 31 x + 31 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $31$ и $1$ .

$y = - 31 x + 32$

Этап 4