Математический анализ Примеры

$e^{x} - e^{3 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{3 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

Этап 1.1.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

Этап 2.2

Перенесем $- 3 e^{3 x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

Этап 2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3 e^{3 x})$

Этап 2.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $\ln (3 e^{3 x})$ в виде $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

Этап 2.5.2

Развернем $\ln (e^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

Этап 2.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

Этап 2.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x$

Этап 2.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x - 3 x = \ln (3)$

Этап 2.6.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- 2 x = \ln (3)$

Этап 2.7

Разделим каждый член $- 2 x = \ln (3)$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- 2 x = \ln (3)$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{x} - e^{3 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{\ln (3)}{2}$ вместо $x$ .

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем $\frac{\ln (3)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (3)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.3

Упростим $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.5

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Этап 4.1.2.1.7

Перепишем $\frac{\ln (3)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

Этап 4.1.2.1.8

Упростим $\frac{1}{2} \ln (3)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

Этап 4.1.2.1.9

Умножим $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.1.2.1.9.2

Упростим $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

Этап 4.1.2.1.10

Упростим $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

Этап 4.1.2.1.11

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

Этап 4.1.2.1.12

Перемножим экспоненты в ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

Этап 4.1.2.1.12.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

Этап 4.1.2.1.13

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Этап 4.1.2.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

Этап 4.1.2.1.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

Этап 4.1.2.1.14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3^{\frac{3}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3^{\frac{2}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

Этап 5