Математический анализ Примеры

$9 \sec (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \sec (x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 9 \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 \sec (x) \tan (x)$ .

$9 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 \sec (x) \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 2.3

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 2.3.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 2.4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 \sec (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $9 \sec (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$9 \sec (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$9 \cdot 1$

Этап 4.1.2.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$9 \sec (π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$9 (- \sec (0))$

Этап 4.2.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$9 (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.3

Умножим $9 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 9$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 9), (π + 2 π n, - 9)$ , для любого целого $n$

Этап 5