Математический анализ Примеры

$x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 12 x$

Этап 1.1.4

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$

Этап 2.2

Каждый член в $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый член $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ на $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 2.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 x^{\frac{3}{2}} - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0 \cdot 2$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) - 24 x = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 24 x$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24 = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.6

Приравняем $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ к $0$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{\frac{1}{2}} = 24$

Этап 2.6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{1} = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.1.1.4

Упростим.

$25 x = 24^{2}$

Этап 2.6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.2.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$25 x = 576$

Этап 2.6.2.4

Разделим каждый член $25 x = 576$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Разделим каждый член $25 x = 576$ на $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Этап 2.6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Этап 2.6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{576}{25}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{576}{25}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2} - 12 x$

Этап 3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

${(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{5} - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{576}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{576}{25}$ вместо $x$ .

${(\frac{576}{25})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{576}{25}$ .

$\frac{576^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$\frac{{(24^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{24^{5}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.4

Возведем $24$ в степень $5$ .

$\frac{7962624}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{7962624}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7962624}{5^{5}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.4

Возведем $5$ в степень $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{576}{25}$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{576^{2}}{25^{2}}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $576$ в степень $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{331776}{25^{2}}$

Этап 4.2.2.1.6

Возведем $25$ в степень $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 (\frac{331776}{625})$

Этап 4.2.2.1.7

Умножим $- 6 (\frac{331776}{625})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Объединим $- 6$ и $\frac{331776}{625}$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 6 \cdot 331776}{625}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Умножим $- 6$ на $331776$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 1990656}{625}$

Этап 4.2.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{1990656}{625}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{1990656}{625}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $625$ на $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{3125}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7962624 - 1990656 \cdot 5}{3125}$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $- 1990656$ на $5$ .

$\frac{7962624 - 9953280}{3125}$

Этап 4.2.2.5.2

Вычтем $9953280$ из $7962624$ .

$\frac{- 1990656}{3125}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1990656}{3125}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\frac{576}{25}, - \frac{1990656}{3125})$

Этап 5