Математический анализ Примеры

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим $- 4 \sin^{2} (x)$ на $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.4.4

Упорядочим многочлен.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 2.4.5

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Этап 2.4.6

Вынесем множитель $2$ из $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Этап 2.4.6.2

Вынесем множитель $2$ из $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Этап 2.4.6.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Этап 2.4.6.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Этап 2.4.6.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Этап 2.4.7

Разделим каждый член $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Разделим каждый член $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.7.2.1.2

Разделим $2 u^{2} + 3 u - 1$ на $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Этап 2.4.8

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.9

Подставим значения $a = 2$ , $b = 3$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.10.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.10.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.10.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.11

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.11.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.11.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.11.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.11.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.11.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Этап 2.4.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Этап 2.4.11.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.12

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.12.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.12.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.12.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.12.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.12.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Этап 2.4.12.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Этап 2.4.12.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.13

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.14

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.15

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 2.4.16

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Этап 2.4.16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Этап 2.4.16.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Этап 2.4.16.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Этап 2.4.16.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Этап 2.4.16.4.2.2

Вычтем $1.28619336$ из $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Этап 2.4.16.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.16.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4.17

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.17.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.4.18

Перечислим все решения.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1.28619336$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1.28619336$ вместо $x$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4.99699194$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4.99699194$ вместо $x$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 4.99699194 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4.99699194 + 2 π$ вместо $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $4.99699194$ и $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Этап 4.3.2.2

Добавим $4.99699194$ и $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = 4.99699194 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $4.99699194 + 4 π$ вместо $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $4.99699194$ и $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Этап 4.4.2.2

Добавим $4.99699194$ и $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Этап 4.4.2.3

Умножим $2$ на $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = 4.99699194 + 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $4.99699194 + 6 π$ вместо $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $4.99699194$ и $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Этап 4.5.2.2

Добавим $4.99699194$ и $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Этап 4.5.2.3

Умножим $2$ на $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = 4.99699194 + 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $4.99699194 + 8 π$ вместо $x$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $4.99699194$ и $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Этап 4.6.2.2

Добавим $4.99699194$ и $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Этап 4.6.2.3

Умножим $2$ на $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Этап 4.7

Перечислим все точки.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , для любого целого $n$

Этап 5