Математический анализ Примеры

$x^{2} (114 - 4 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 114 - 4 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [114 - 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $114 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $114$ является константой относительно $x$ , производная $114$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 \cdot 1) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x^{2} \cdot - 4 + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $- 4$ влево от $x^{2}$ .

$- 4 \cdot x^{2} + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{2} + (114 - 4 x) (2 x)$

Этап 1.1.2.8

Перенесем $2$ влево от $114 - 4 x$ .

$- 4 x^{2} + 2 \cdot (114 - 4 x) x$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + (2 \cdot 114 + 2 (- 4 x)) x$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + 2 \cdot 114 x + 2 (- 4 x) x$

Этап 1.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $2$ на $114$ .

$- 4 x^{2} + 228 x + 2 (- 4 x) x$

Этап 1.1.3.3.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x \cdot x$

Этап 1.1.3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x)$

Этап 1.1.3.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x^{1})$

Этап 1.1.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{1 + 1}$

Этап 1.1.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.7

Вычтем $8 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 12 x^{2} + 228 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 228 x$ .

$- 12 x^{2} + 228 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 228 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 228 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{2} + 228 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 228 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $228 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 19 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x (x) - 12 x (- 19)$ .

$- 12 x (x - 19) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 19 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 19$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 19$ к $0$ .

$x - 19 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $19$ к обеим частям уравнения.

$x = 19$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 x (x - 19) = 0$ верно.

$x = 0, 19$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{2} (114 - 4 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} (114 - 4 \cdot 0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 (114 - 4 \cdot 0)$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 (114 + 0)$

Этап 4.1.2.3

Добавим $114$ и $0$ .

$0 \cdot 114$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $114$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $19$ вместо $x$ .

${(19)}^{2} (114 - 4 \cdot 19)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$361 (114 - 4 \cdot 19)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 4$ на $19$ .

$361 (114 - 76)$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $76$ из $114$ .

$361 \cdot 38$

Этап 4.2.2.4

Умножим $361$ на $38$ .

$13718$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (19, 13718)$

Этап 5