Математический анализ Примеры

$4 x^{2} (x - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} (x - 3)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 3$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 (x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 (x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + (x - 3) (2 x))$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $x - 3$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x)$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x)) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x^{1})) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} + 4 (2 x^{1 + 1}) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x)$

Этап 1.1.4.4.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (- 6 x)$

Этап 1.1.4.4.7

Умножим $- 6$ на $4$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} - 24 x$

Этап 1.1.4.4.8

Добавим $4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $4 x^{2} (x - 3)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$4 {(0)}^{2} ((0) - 3)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 ((0) - 3)$

Этап 4.1.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 ((0) - 3)$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$0 \cdot - 3$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 3$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$4 {(2)}^{2} ((2) - 3)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 \cdot 4 ((2) - 3)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$16 ((2) - 3)$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$16 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 16$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (2, - 16)$

Этап 5