Математический анализ Примеры

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{3} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $4$ .

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.6

Объединим $\frac{- 12}{3}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.7

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.3.7.2.4

Разделим $- 4 x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $\frac{17}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{17}{15}$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $x^{4} - 4 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4} - 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 4 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 4 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 4$ .

$u (u - 4) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{4}{3}$ .

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + \frac{17}{15}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $\frac{17}{15}$ .

$\frac{17}{15}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $32$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Объединим $- 8$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.4.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.3

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.4

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.5

Изменим порядок множителей в $5 \cdot 3$ .

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.6

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.2.7

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Этап 4.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $32$ на $3$ .

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $- 32$ на $5$ .

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

Этап 4.2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Вычтем $160$ из $96$ .

$\frac{- 64 + 17}{15}$

Этап 4.2.2.5.2

Добавим $- 64$ и $17$ .

$\frac{- 47}{15}$

Этап 4.2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{47}{15}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 32$ .

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Объединим $8$ и $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.1.5.3

Умножим $8$ на $4$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{32}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.4

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.5

Изменим порядок множителей в $5 \cdot 3$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.6

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.2.7

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Этап 4.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Этап 4.3.2.4.2

Умножим $32$ на $5$ .

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

Этап 4.3.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Добавим $- 96$ и $160$ .

$\frac{64 + 17}{15}$

Этап 4.3.2.5.2

Добавим $64$ и $17$ .

$\frac{81}{15}$

Этап 4.3.2.5.3

Сократим общий множитель $81$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.3.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$\frac{3 (27)}{15}$

Этап 4.3.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Этап 4.3.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Этап 4.3.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{5}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

Этап 5