Математический анализ Примеры

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 12 x^{2} - 16 x - 7$ и $g (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{({(3 x - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 16 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.5

Умножим $2$ на $12$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.8

Умножим $- 16$ на $1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.9

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + 0) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.3.10

Добавим $24 x - 16$ и $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 u \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2

Вынесем множитель $3 x - 1$ из ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Вынесем множитель $3 x - 1$ из ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16)$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.2

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.3

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Этап 1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Вынесем множитель $3 x - 1$ из ${(3 x - 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.7

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.10

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.12.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.12.3

Объединим $4$ и $\frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2}) - 6 (- 16 x) - 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.1

Развернем $(3 x - 1) (24 x - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x (24 x - 16) - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 (3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.3

Умножим $3$ на $24$ .

$\frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.4

Умножим $- 16$ на $3$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.5

Умножим $24$ на $- 1$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.2

Вычтем $24 x$ из $- 48 x$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 72 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.4.1

Умножим $72$ на $4$ .

$\frac{288 x^{2} + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.4.2

Умножим $- 72$ на $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.4.3

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.5

Умножим $12$ на $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.6

Умножим $- 72$ на $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.7

Умножим $- 16$ на $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.8

Умножим $96$ на $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.9

Умножим $4 (- 6 \cdot - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.9.1

Умножим $- 6$ на $- 7$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot 42}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.1.9.2

Умножим $4$ на $42$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.2

Объединим противоположные члены в $288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.2.1

Вычтем $288 x^{2}$ из $288 x^{2}$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 0 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.2.2

Добавим $- 288 x + 64$ и $0$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.3

Добавим $- 288 x$ и $384 x$ .

$\frac{96 x + 64 + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.3.4

Добавим $64$ и $168$ .

$\frac{96 x + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.4

Вынесем множитель $8$ из $96 x + 232$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.4.1

Вынесем множитель $8$ из $96 x$ .

$\frac{8 (12 x) + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.4.2

Вынесем множитель $8$ из $232$ .

$\frac{8 (12 x) + 8 (29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.1.13.4.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (12 x) + 8 (29)$ .

$f' (x) = \frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 (12 x + 29) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $8 (12 x + 29) = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $8 (12 x + 29) = 0$ на $8$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $12 x + 29$ на $1$ .

$12 x + 29 = \frac{0}{8}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$12 x + 29 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $29$ из обеих частей уравнения.

$12 x = - 29$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $12 x = - 29$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $12 x = - 29$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 29}{12}$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{29}{12}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(3 x - 1)}^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4

Вычислим $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{29}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{29}{12}$ вместо $x$ .

$\frac{4 (12 {(- \frac{29}{12})}^{2} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{29}{12})}^{2}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4 (12 (1 \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $\frac{29^{2}}{12^{2}}$ на $1$ .

$\frac{4 (12 \frac{29^{2}}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $29$ в степень $2$ .

$\frac{4 (12 \frac{841}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{4 (12 (\frac{841}{144}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Вынесем множитель $12$ из $144$ .

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 (12)} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 \cdot 12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{29}{12}$ в числитель.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (\frac{- 29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 (- 4) \frac{- 29}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7.5

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 4 (\frac{- 29}{3}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $- 4$ и $\frac{- 29}{3}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{- 4 \cdot - 29}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.9

Умножим $- 4$ на $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.10

Чтобы записать $\frac{116}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} \cdot \frac{4}{4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1

Умножим $\frac{116}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.11.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (\frac{841 + 116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.13.1

Умножим $116$ на $4$ .

$\frac{4 (\frac{841 + 464}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.13.2

Добавим $841$ и $464$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.14

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7 \cdot \frac{12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.15

Объединим $- 7$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} + \frac{- 7 \cdot 12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \frac{1305 - 7 \cdot 12}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.17.1

Умножим $- 7$ на $12$ .

$\frac{4 \frac{1305 - 84}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.17.2

Вычтем $84$ из $1305$ .

$\frac{4 (\frac{1221}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.18

Сократим общий множитель $1221$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.18.1

Вынесем множитель $3$ из $1221$ .

$\frac{4 \frac{3 (407)}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{29}{12}$ в числитель.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (\frac{- 29}{12}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 (4)} - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 \cdot 4} - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29}{4} - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 4}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 33}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{33}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.8

Применим правило умножения к $- \frac{33}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- 1)}^{2} {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Этап 4.1.2.2.10

Применим правило умножения к $\frac{33}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

Этап 4.1.2.2.11

Возведем $33$ в степень $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{1089}{4^{2}}}$

Этап 4.1.2.2.12

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 (\frac{1089}{16})}$

Этап 4.1.2.2.13

Умножим $\frac{1089}{16}$ на $1$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{\frac{1089}{16}}$

Этап 4.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Объединим $4$ и $\frac{407}{4}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 407}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Этап 4.1.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Умножим $4$ на $407$ .

$\frac{\frac{1628}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Разделим $1628$ на $4$ .

$\frac{407}{\frac{1089}{16}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$407 (\frac{16}{1089})$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вынесем множитель $11$ из $407$ .

$11 (37) \frac{16}{1089}$

Этап 4.1.2.5.2

Вынесем множитель $11$ из $1089$ .

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Этап 4.1.2.5.3

Сократим общий множитель.

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Этап 4.1.2.5.4

Перепишем это выражение.

$37 (\frac{16}{99})$

Этап 4.1.2.6

Объединим $37$ и $\frac{16}{99}$ .

$\frac{37 \cdot 16}{99}$

Этап 4.1.2.7

Умножим $37$ на $16$ .

$\frac{592}{99}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(1 - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Этап 4.2.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{29}{12}, \frac{592}{99})$

Этап 5