Математический анализ Примеры

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $24 - 2 x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

Этап 1.1.2

Возведем $24 - 2 x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

Этап 1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

Этап 1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ и $g (x) = x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Этап 1.1.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Этап 1.1.6.2

Умножим ${(24 - 2 x)}^{2}$ на $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 24 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Этап 1.1.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Этап 1.1.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Этап 1.1.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

По правилу суммы производная $24 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Этап 1.1.8.2

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Этап 1.1.8.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.1.8.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.8.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.8.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

Этап 1.1.8.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

Этап 1.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

Этап 1.1.9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Умножим $- 4$ на $24$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

Этап 1.1.9.3.2

Перенесем $- 96$ влево от $x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

Этап 1.1.9.3.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

Этап 1.1.9.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

Этап 1.1.9.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Этап 1.1.9.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

Этап 1.1.9.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

Этап 1.1.9.4

Изменим порядок членов.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

Этап 1.1.9.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.1

Перепишем ${(24 - 2 x)}^{2}$ в виде $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.2

Развернем $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.3.1.1

Умножим $24$ на $24$ .

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.2

Умножим $- 2$ на $24$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.3

Умножим $24$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

Этап 1.1.9.5.3.2

Вычтем $48 x$ из $- 48 x$ .

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

Этап 1.1.9.6

Добавим $8 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

Этап 1.1.9.7

Вычтем $96 x$ из $- 96 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $576$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $- 192 x$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 12 \cdot 48$ .

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ .

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 48 - 16 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $48$ , а сумма — $- 16$ .

$- 12, - 4$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (x - 12) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 12, 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $12$ вместо $x$ .

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $24$ из $24$ .

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 2$ на $12$ .

$0 (24 - 24) \cdot 12$

Этап 4.1.2.4

Вычтем $24$ из $24$ .

$0 \cdot 0 \cdot 12$

Этап 4.1.2.5

Умножим $0 \cdot 0 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $0$ .

$0 \cdot 12$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $12$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $8$ из $24$ .

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$16 (24 - 8) \cdot 4$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $8$ из $24$ .

$16 \cdot 16 \cdot 4$

Этап 4.2.2.5

Умножим $16 \cdot 16 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $16$ на $16$ .

$256 \cdot 4$

Этап 4.2.2.5.2

Умножим $256$ на $4$ .

$1024$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(12, 0), (4, 1024)$

Этап 5