Математический анализ Примеры

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- 2 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 2 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 1 - 4 \cos (x)) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 4 \cos (x) = 0$

Этап 2.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $- 1 - 4 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $- 1 - 4 \cos (x)$ к $0$ .

$- 1 - 4 \cos (x) = 0$

Этап 2.6.2

Решим $- 1 - 4 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 4 \cos (x) = 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 4}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{4}$

Этап 2.6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{4})$

Этап 2.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{1}{4})$ .

$x = 1.82347658$

Этап 2.6.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

Этап 2.6.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.82347658$

Этап 2.6.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.82347658$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.82347658$

Этап 2.6.2.6.2.2

Вычтем $1.82347658$ из $6.2831853$ .

$x = 4.45970872$

Этап 2.6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- 1 - 4 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 1.82347658 + 2 π n, 4.45970872 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 \cos (0) + 2 \cos (2 (0))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 \cos (2 (0))$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \cos (2 (0))$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$2 + 2 \cos (0)$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$2 \cos (π) + 2 \cos (2 (π))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0)) + 2 \cos (2 (π))$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + 2 \cos (2 (π))$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 + 2 \cos (2 (π))$

Этап 4.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 \cos (2 (π))$

Этап 4.2.2.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 + 2 \cos (0)$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 + 2 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1.82347658$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1.82347658$ вместо $x$ .

$2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (2 (1.82347658))$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1.82347658$ .

$2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (3.64695316)$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 4), (π + 2 π n, 0), (1.82347658 + 2 π n, 2 \cos (1.82347658) + 2 \cos (3.64695316))$ , для любого целого $n$

Этап 5