Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.3.9.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.7

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.9

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Этап 3

Умножим $0.4$ на $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Этап 4.2

Вычтем $0.4$ из $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $0.6$ в степень $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Этап 5.2

Разделим $- 0.64$ на $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$