Математический анализ Примеры

$F (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 10 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.6.3

Перенесем ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Этап 1.7

По правилу суммы производная $10 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.10

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 1.11

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Этап 1.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Этап 1.12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$F' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $10$ на $1$ .

$F' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из $10$ .

$F' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3

Единица в любой степени равна единице.

$F' (1) = \frac{5}{1}$

Этап 4

Разделим $5$ на $1$ .

$F' (1) = 5$