Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{3} + b x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = a {(x + h)}^{3} + b (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = a (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + b (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a x^{3} + a (3 x^{2} h) + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b (x + h)$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$ .

$a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b x + b h$

Этап 2.2.3

Перенесем $b x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b h + b x$

Этап 2.2.4

Перенесем $a x^{3}$ .

$3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + a x^{3} + b h + b x$

Этап 2.2.5

Перенесем $3 a h x^{2}$ .

$3 a h^{2} x + a h^{3} + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Этап 2.2.6

Изменим порядок $3 a h^{2} x$ и $a h^{3}$ .

$a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3} + b x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3}) - (b x)}{h}$

Этап 4.1.2

Вычтем $a x^{3}$ из $a x^{3}$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x + 0 - b x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $a h^{3}$ и $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x - b x}{h}$

Этап 4.1.4

Вычтем $b x$ из $b x$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + 0}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ и $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $h$ из $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $h$ из $a h^{3}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $h$ из $3 a h^{2} x$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $h$ из $3 a h x^{2}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + b (h)}{h}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $h$ из $b h$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $h$ из $h (a h^{2}) + h (3 a h x)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Этап 4.1.6.6

Вынесем множитель $h$ из $h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2})$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Этап 4.1.6.7

Вынесем множитель $h$ из $h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$ на $1$ .

$a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$a h^{2} + 3 a x h + 3 a x^{2} + b$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $a h^{2}$ .

$3 a x h + 3 a x^{2} + a h^{2} + b$

Этап 4.2.2.3

Изменим порядок $3 a x h$ и $3 a x^{2}$ .

$3 a x^{2} + 3 a x h + a h^{2} + b$

Этап 5