Математический анализ Примеры

$f (x) = {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ и $g (x) = 10 x^{3} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x^{3} - 6 x$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 6 x]$

Этап 2

По правилу суммы производная $10 x^{3} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6 \cdot 1)$

Этап 4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{4 - 3}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.1.4.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{4}{3} {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.1.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и ${(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3} (30 x^{2} - 6)$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3} (30 x^{2} - 6)$ .

$(30 x^{2} - 6) \frac{4 {(10 x^{3} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}{3}$