Математический анализ Примеры

$\sin (x) - x \cos (x)$

Этап 1

Запишем $\sin (x) - x \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - x \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Этап 2.1.3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Этап 2.1.4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Этап 2.1.4.2.3

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Этап 2.1.4.2.4

Добавим $x \sin (x)$ и $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x \sin (x) = 0$ верно.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $0$ и $2 π n$ в $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6.2

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $π n$ .

$π n$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = x \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ в интервале $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Этап 6.2.2

Перепишем $- 1 \sin (π n - 1)$ в виде $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Этап 6.3

При $x = π n - 1$ производная имеет вид $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, π n)$ .

Убывание на $(- \infty, π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Этап 7.2.2

Умножим $\sin (π n + 1)$ на $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Этап 7.3

При $x = π n + 1$ производная имеет вид $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(π n, \infty)$ .

Возрастание в области $(π n, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(π n, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, π n)$

Этап 9