Математический анализ Примеры

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Этап 1

Запишем $\arctan (x^{2} - 2 x)$ в виде функции.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 2.1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Этап 2.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 2.1.2.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $2 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 2$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$x = 1$

Этап 3.4

Приравняем $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ к $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 3.4.2.2

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ верно.

$x = 1$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $1$ .

$1$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ в интервале $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Этап 6.2.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Этап 6.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Этап 6.2.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Этап 6.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Умножим $2 (0) - 2$ на $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Этап 6.2.2.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$f' (0) = - 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 2$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Убывание на $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Этап 7.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Этап 7.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Этап 7.2.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Этап 7.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Этап 7.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Этап 7.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Умножим $2 (2) - 2$ на $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Этап 7.2.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Этап 7.2.2.2.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$f' (2) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 1)$

Этап 9