Математический анализ Примеры

$8 - 8 \sin (x)$

Этап 1

Запишем $8 - 8 \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = 8 - 8 \sin (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $8 - 8 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \sin (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 - 8 \cos (x)$

Этап 2.1.3

Вычтем $8 \cos (x)$ из $0$ .

$f' (x) = - 8 \cos (x)$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 8 \cos (x)$ .

$- 8 \cos (x)$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 8 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 8 \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 8 \cos (x) = 0$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 8 \cos (x) = 0$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \cos (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \cos (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 8}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 8$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 8 \cos (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 8 - 8 \sin (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ производная имеет вид $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 7.3

Упростим.

$- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Этап 7.4

При $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ производная имеет вид $- 8 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Этап 9