Математический анализ Примеры

$3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Этап 1

Запишем $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} \ln (x^{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.6

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.7

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$3 (x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.8

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.9

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{x}$ .

$3 (\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.10

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11.2.3

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11.2.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.11.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Этап 2.1.4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 6 (\ln (x^{2}) (x)) + 0$

Этап 2.1.4.2.3

Добавим $6 x + 6 \ln (x^{2}) x$ и $0$ .

$6 x + 6 \ln (x^{2}) x$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x \ln (x^{2}) + 6 x$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$

Этап 3.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ на $6 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ на $6 x$ .

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 6 x}{6 x}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 (x)}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (x^{2}) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

Этап 3.6.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Этап 3.6.3

Упростим $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Этап 3.6.3.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{e}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Этап 3.6.3.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Этап 3.6.3.4

Умножим $\frac{1}{\sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Этап 3.6.3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{e}}$ на $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Этап 3.6.3.5.2

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Этап 3.6.3.5.3

Возведем $\sqrt{e}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Этап 3.6.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Этап 3.6.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Этап 3.6.3.5.6

Перепишем ${\sqrt{e}}^{2}$ в виде $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e}$ в виде $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.3.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.3.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.3.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.3.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Этап 3.6.3.5.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Этап 3.6.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Этап 3.6.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Этап 3.6.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим аргумент в $\ln (x^{2})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} \leq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Этап 5.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 0 |$

Этап 5.2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| x | \leq 0$

Этап 5.2.3

Запишем $| x | \leq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.2.3.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 0$

Этап 5.2.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.2.3.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 0$

Этап 5.2.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.2.4

Найдем пересечение $x \leq 0$ и $x \geq 0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.5

Решим $- x \leq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2.5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2.5.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.2.5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \geq 0$

Этап 5.2.5.2

Найдем пересечение $x \geq 0$ и $x < 0$ .

Нет решения

Этап 5.2.6

Найдем объединение решений.

$x = 0$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = 6 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $6$ на $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1.60653067$ в степень $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (- 1.60653067)$

Этап 7.2.1.3

Упростим $- 9.63918402 \ln (2.58094079)$ путем переноса $9.63918402$ под логарифм.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (- 1.60653067)$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2.58094079$ в степень $9.63918402$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) + 6 (- 1.60653067)$

Этап 7.2.1.5

Умножим $6$ на $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) - 9.63918402$

Этап 7.2.2

Вычтем $9.63918402$ из $- \ln (9315.46036547)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 18.77861472$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 18.77861472$ .

$- 18.77861472$

Этап 7.3

При $x = - 1.60653067$ производная имеет вид $- 18.77861472$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 0.60653067, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = 6 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $6$ на $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Этап 8.2.1.2

Возведем $- 0.30326533$ в степень $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (- 0.30326533)$

Этап 8.2.1.3

Упростим $- 1.81959201 \ln (0.09196986)$ путем переноса $1.81959201$ под логарифм.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (- 0.30326533)$

Этап 8.2.1.4

Возведем $0.09196986$ в степень $1.81959201$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) + 6 (- 0.30326533)$

Этап 8.2.1.5

Умножим $6$ на $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) - 1.81959201$

Этап 8.2.2

Вычтем $1.81959201$ из $- \ln (0.01300941)$ .

$f' (- 0.30326533) = 2.52249008$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $2.52249008$ .

$2.52249008$

Этап 8.3

При $x = - 0.30326533$ производная имеет вид $2.52249008$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 0.60653067, 0)$ .

Возрастание в области $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 6 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $6$ на $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Этап 9.2.1.2

Возведем $0.30326533$ в степень $2$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (0.30326533)$

Этап 9.2.1.3

Упростим $1.81959201 \ln (0.09196986)$ путем переноса $1.81959201$ под логарифм.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (0.30326533)$

Этап 9.2.1.4

Возведем $0.09196986$ в степень $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 6 (0.30326533)$

Этап 9.2.1.5

Умножим $6$ на $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 1.81959201$

Этап 9.2.2

Добавим $\ln (0.01300941)$ и $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = - 2.52249008$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 2.52249008$ .

$- 2.52249008$

Этап 9.3

При $x = 0.30326533$ производная имеет вид $- 2.52249008$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Убывание на $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 6 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $6$ на $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Этап 10.2.1.2

Возведем $1.60653067$ в степень $2$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (1.60653067)$

Этап 10.2.1.3

Упростим $9.63918402 \ln (2.58094079)$ путем переноса $9.63918402$ под логарифм.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (1.60653067)$

Этап 10.2.1.4

Возведем $2.58094079$ в степень $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 6 (1.60653067)$

Этап 10.2.1.5

Умножим $6$ на $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 9.63918402$

Этап 10.2.2

Добавим $\ln (9315.46036547)$ и $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = 18.77861472$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $18.77861472$ .

$18.77861472$

Этап 10.3

При $x = 1.60653067$ производная имеет вид $18.77861472$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Этап 12