Математический анализ Примеры

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 36 x^{2}$

Этап 1

Запишем $2 x^{4} - 16 x^{3} + 36 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{4} - 16 x^{3} + 36 x^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 16 x^{3} + 36 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$8 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} - 48 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x^{3} - 48 x^{2} + 36 (2 x)$

Этап 2.1.4.3

Умножим $2$ на $36$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x$ .

$8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{3} - 48 x^{2} + 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{3}$ .

$8 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 72 x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $8 x$ из $- 48 x^{2}$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (- 6 x) + 72 x = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $8 x$ из $72 x$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (- 6 x) + 8 x (9) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{2}) + 8 x (- 6 x)$ .

$8 x (x^{2} - 6 x) + 8 x (9) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{2} - 6 x) + 8 x (9)$ .

$8 x (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$8 x (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$8 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$8 x {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.5.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 3$ .

$0, 3$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 8 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 72 (- 1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 8 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 72 (- 1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 8 - 48 {(- 1)}^{2} + 72 (- 1)$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 8 - 48 \cdot 1 + 72 (- 1)$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 48$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 8 - 48 + 72 (- 1)$

Этап 6.2.1.5

Умножим $72$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 8 - 48 - 72$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $48$ из $- 8$ .

$f' (- 1) = - 56 - 72$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $72$ из $- 56$ .

$f' (- 1) = - 128$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 128$ .

$- 128$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 128$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 8 {(\frac{3}{2})}^{3} - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 8 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 8 (\frac{27}{2^{3}}) - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 8 (\frac{27}{8}) - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = 8 (\frac{27}{8}) - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 48 {(\frac{3}{2})}^{2} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 48 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 48 \frac{9}{2^{2}} + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 48 (\frac{9}{4}) + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 48$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 + 4 (- 12) (\frac{9}{4}) + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = 27 + 4 \cdot (- 12 (\frac{9}{4})) + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 12 \cdot 9 + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.9

Умножим $- 12$ на $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 108 + 72 (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 108 + 2 (36) (\frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 108 + 2 \cdot (36 (\frac{3}{2}))$

Этап 7.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 108 + 36 \cdot 3$

Этап 7.2.1.11

Умножим $36$ на $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27 - 108 + 108$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $108$ из $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 81 + 108$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 81$ и $108$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 7.3

При $x = \frac{3}{2}$ производная имеет вид $27$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 3)$ .

Возрастание в области $(0, 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 8 {(4)}^{3} - 48 {(4)}^{2} + 72 (4)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 8 \cdot 64 - 48 {(4)}^{2} + 72 (4)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $8$ на $64$ .

$f' (4) = 512 - 48 {(4)}^{2} + 72 (4)$

Этап 8.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 512 - 48 \cdot 16 + 72 (4)$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 48$ на $16$ .

$f' (4) = 512 - 768 + 72 (4)$

Этап 8.2.1.5

Умножим $72$ на $4$ .

$f' (4) = 512 - 768 + 288$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $768$ из $512$ .

$f' (4) = - 256 + 288$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 256$ и $288$ .

$f' (4) = 32$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $32$ .

$32$

Этап 8.3

При $x = 4$ производная имеет вид $32$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 3), (3, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 10