Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{4}}{x - 15}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x - 15$ .

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $4$ влево от $x - 15$ .

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $4$ на $- 15$ .

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4} - 60 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4.2

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $- 60 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4.3

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.3.2.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x - 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x - 20$ к $0$ .

$x - 20 = 0$

Этап 3.3.3.2

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$x = 20$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x^{3} (x - 20) = 0$ верно.

$x = 0, 20$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 20$ .

$0, 20$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 15)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 15$ к $0$ .

$x - 15 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x = 15$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $20$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 21$ на $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $15$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

Этап 7.2.3

Умножим $- 63$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{63}{256}$ .

$\frac{63}{256}$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{63}{256}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 15)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Чтобы записать $- 20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Объединим $- 20$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.6.1

Умножим $- 20$ на $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6.2

Вычтем $40$ из $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.2

Умножим $\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ на $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.3

Умножим $25$ на $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.4

Умножим $2^{3}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.4.1

Умножим $2^{3}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.4.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.4.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.1.11

Умножим $75$ на $3375$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $- 15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $- 15$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $- 15$ на $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Вычтем $30$ из $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Применим правило умножения к $- \frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

Этап 8.2.2.9

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

Этап 8.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

Этап 8.2.2.11

Умножим $\frac{225}{4}$ на $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{253125}{16}$ в числитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель $225$ из $- 253125$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Этап 8.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

Этап 8.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Этап 8.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

Этап 8.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1125}{4}$ .

$- \frac{1125}{4}$

Этап 8.3

При $x = \frac{15}{2}$ производная имеет вид $- \frac{1125}{4}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 15)$ .

Убывание на $(0, 15)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(15, 20)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Чтобы записать $- 20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Объединим $- 20$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.6.1

Умножим $- 20$ на $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.6.2

Вычтем $40$ из $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.2

Умножим $\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ на $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.4

Умножим $2^{3}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.8.4.1

Умножим $2^{3}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.8.4.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.8.4.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.9

Возведем $35$ в степень $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.1.11

Умножим $15$ на $42875$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Чтобы записать $- 15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Объединим $- 15$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.4.1

Умножим $- 15$ на $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.4.2

Вычтем $30$ из $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Этап 9.2.2.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

Этап 9.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{643125}{16}$ в числитель.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 9.2.4.2

Вынесем множитель $25$ из $- 643125$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 9.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 9.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

Этап 9.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Этап 9.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

Этап 9.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

Этап 9.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{25725}{4}$ .

$- \frac{25725}{4}$

Этап 9.3

При $x = \frac{35}{2}$ производная имеет вид $- \frac{25725}{4}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(15, 20)$ .

Убывание на $(15, 20)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(20, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $21$ .

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Вычтем $20$ из $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $21$ в степень $3$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $15$ из $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

Этап 10.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $3$ на $9261$ .

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

Этап 10.2.3.2

Сократим общий множитель $27783$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27783$ .

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Этап 10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Этап 10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $\frac{3087}{4}$ .

$\frac{3087}{4}$

Этап 10.3

При $x = 21$ производная имеет вид $\frac{3087}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(20, \infty)$ .

Возрастание в области $(20, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (20, \infty)$

Убывание на: $(0, 15), (15, 20)$

Этап 12