Математический анализ Примеры

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Этап 1

Запишем ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ в виде функции.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.8.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.12

Объединим $2$ и $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.13

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.14

Объединим $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2.15

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Этап 5.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Этап 5.2

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Этап 5.3.2.2.1.6

Умножим $27$ на $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$27 x^{2} = 27$

Этап 5.3.3.2

Разделим каждый член $27 x^{2} = 27$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 27$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Этап 5.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Разделим $27$ на $27$ .

$x^{2} = 1$

Этап 5.3.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 5.3.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.3

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Этап 7.2.3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 8.2.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 8.2.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 8.2.2.8

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 8.2.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 8.2.2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 8.2.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 8.2.2.11

Найдем экспоненту.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 8.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.5.6

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 8.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Этап 8.2.8

Умножим $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Этап 8.2.8.2

Объединим $2$ и $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.4

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.8.8

Добавим $3$ и $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.9

Окончательный ответ: $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Возрастание в области $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.2.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 9.2.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 9.2.2.8

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 9.2.2.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 9.2.2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 9.2.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Этап 9.2.2.11

Найдем экспоненту.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 9.2.3

Разделим $4$ на $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 9.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.5.6

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Этап 9.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Этап 9.2.8

Умножим $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.2

Объединим $- 2$ и $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.5

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.8.9

Добавим $3$ и $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 1)$ .

Убывание на $(0, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.3

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Этап 10.2.3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Этап 12