Математический анализ Примеры

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Этап 1

Запишем $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ в виде функции.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $136$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ по $t$ равна $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ в виде ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.4

По правилу суммы производная $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.6

Поскольку $0.25$ является константой относительно $t$ , производная $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ по $t$ равна $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.8

По правилу суммы производная $t - 4.5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.10

Поскольку $- 4.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 4.5$ относительно $t$ равна $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.11

Добавим $1$ и $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.12

Умножим $2$ на $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.13

Умножим $2$ на $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.14

Добавим $0$ и $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.15

Умножим $0.5$ на $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.2.16

Умножим $- 0.5$ на $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Этап 2.1.3

Поскольку $28$ является константой относительно $t$ , производная $28$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Объединим $- 68$ и $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Этап 2.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Этап 2.1.4.2.3

Добавим $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ и $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.4.5

Умножим $- 1$ на $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.1

Перепишем ${(t - 4.5)}^{2}$ в виде $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.2

Развернем $(t - 4.5) (t - 4.5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.3.1.2

Перенесем $- 4.5$ влево от $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.3.1.3

Умножим $- 4.5$ на $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.3.2

Вычтем $4.5 t$ из $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.5.1

Умножим $- 9$ на $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.5.2

Умножим $0.25$ на $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.6

Добавим $1$ и $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.7

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.6.7.1

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.7.2

Вынесем множитель $0.0625$ из $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.7.3

Вынесем множитель $0.0625$ из $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.7.4

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.7.5

Вынесем множитель $0.0625$ из $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.8

Применим правило умножения к $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.6.9

Возведем $0.0625$ в степень $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.7

Вынесем множитель $68$ из $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.8

Вынесем множитель $0.00390625$ из $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Этап 2.1.4.9

Разделим дроби.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Этап 2.1.4.10

Разделим $68$ на $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Этап 2.1.4.11

Объединим $17408$ и $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.12

Умножим $- t + 4.5$ на $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.13.1

Вынесем множитель $0.5$ из $- t + 4.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.13.1.1

Вынесем множитель $0.5$ из $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.13.1.2

Вынесем множитель $0.5$ из $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.13.1.3

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.13.2

Умножим $17408$ на $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.15

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.17

Перепишем $- (2 t - 9)$ в виде $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.1.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $8704 (2 t - 9) = 0$ на $8704$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разделим каждый член $8704 (2 t - 9) = 0$ на $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Этап 3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $8704$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Этап 3.3.1.2.1.2

Разделим $2 t - 9$ на $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Этап 3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$2 t = 9$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 t = 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 t = 9$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ в интервале $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{9}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $8704$ на $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $- 18$ на $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.7

Вычтем $126$ из $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Этап 6.2.2.8

Добавим $- 77$ и $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Этап 6.2.2.9

Возведем $20$ в степень $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $- 17408$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Этап 6.3

При $t = \frac{7}{2}$ производная имеет вид $\frac{1088}{25}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{9}{2})$ , так как $f' (t) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{9}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $8704$ на $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Умножим $- 18$ на $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Вычтем $198$ из $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Добавим $- 77$ и $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Этап 7.2.2.9

Возведем $20$ в степень $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $17408$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $16$ из $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Этап 7.3

При $t = \frac{11}{2}$ производная имеет вид $- \frac{1088}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{9}{2}, \infty)$ , так как $f' (t) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, \frac{9}{2})$

Убывание на: $(\frac{9}{2}, \infty)$

Этап 9