Математический анализ Примеры

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{6} (x)$ и $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Этап 1.2

Производная $\log_{6} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 7

Объединим $\frac{7}{2}$ и ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Этап 8

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

Этап 12.2

Изменим порядок множителей в $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ на $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

Этап 13.1.2

Перенесем ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Умножим ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ на ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1.1

Перенесем ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3.1.4

Добавим $- 5$ и $7$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.1.3.2

Упростим $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ .

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

Этап 13.2

Изменим порядок множителей в $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

Этап 13.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

Этап 13.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Этап 13.4

Умножим $2 x + 2$ на $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $2 x + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 x + 2) \cdot 7$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Этап 13.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x + 2) \ln (6)$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Этап 13.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

Этап 13.6

Перенесем $7$ влево от $x + 1$ .

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

Этап 13.7

Изменим порядок множителей в $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$