Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Этап 3.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.5

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x)$