Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sec (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sec (x) + \csc (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \csc (x)] - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Этап 3

По правилу суммы производная $\sec (x) + \csc (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{\csc (x) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Этап 6

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + 1 (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Этап 7.2

Умножим $\sec (x) + \csc (x)$ на $1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $(\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Добавим $- \csc (x) \cot (x)$ и $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x) + 0}{\csc (x)}$

Этап 9.2.1.2

Добавим $\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)$ и $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 9.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Изменим порядок $\sec (x)$ и $\cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \cot (x) \sec (x)}{\csc (x)}$

Этап 9.2.2.1.2

Выразим $\sec (x) \cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{\csc (x)}$

Этап 9.2.2.1.3

Сократим общие множители.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)}}{\csc (x)}$

Этап 9.2.2.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$